前一段时间看了李永乐老师的视频,谈到了卷筒卫生纸长度的计算方法。看了以后很受启发,今天我们继续探讨这个话题,并把它拓展到平面等距螺旋线长度的计算。

整卷线如何算出米数(如何计算卷筒卫生纸的长度)(1)

卷筒卫生纸

卷筒卫生纸的长度该如何计算呢?李永乐老师是从侧面积的计算入手来解决问题的。卫生纸有两个相同的侧面,形状都是圆环,计算这个圆环的面积很简单,套用公式就行了。请看圆环的面积计算公式:

S=π(R²-r²)

这个公式就是说一个圆环的面积等于外圆面积减去内圆面积。公式中的S代表圆环面积,R是外圆半径,r是内圆半径。

卫生纸可以展开拉直,这时它的侧面形状从圆环变成了一个长方形,长方形的长就是我们想知道的未知数L:卫生纸的长度,宽就是卫生纸的厚度。在这个变形过程中,侧面形状虽然从圆环变成了长方形,但是面积不变,于是可以根据这个等量关系列方程求L:

π(R²-r²)=L·W

方程式中的W代表长方形的宽。把方程式变形一下:

L=S/W 【S=π(R²-r²)】

所以,只有知道了卫生纸外圆、内圆和厚度这三个数据,就能够求出长度L。

其实,这个问题的本质是求平面等距螺旋线的长度。

先看看我们在生活中遇到的这种螺旋线。

整卷线如何算出米数(如何计算卷筒卫生纸的长度)(2)

一盘蚊香

生活中很常见的蚊香就是平面等距螺旋线的实物化。这种螺旋线的长度应该怎么计算呢?我们的思路是从简单到复杂,从易到难。先谈谈怎么计算同心圆的周长。请看下图:

整卷线如何算出米数(如何计算卷筒卫生纸的长度)(3)

等距同心圆

这个同心圆的周长计算很简单,把每个圆的周长算出来再相加就完事了。下图是我们在生活中常见的同心圆的实物化形象。

整卷线如何算出米数(如何计算卷筒卫生纸的长度)(4)

飞镖靶盘

同心圆可以转化为螺旋线。请看下图:

整卷线如何算出米数(如何计算卷筒卫生纸的长度)(5)

一组等距同心圆变形为两条等距螺旋线

从上图可以很直观地看出,一条通过圆心的直线将同心圆分为上下两部分,将下半部分平移一个螺距,我们就得到了两条等距螺旋线。平移后的结果可以展示为很形象的具体实物,请看下图:

整卷线如何算出米数(如何计算卷筒卫生纸的长度)(6)

两盘蚊香

再看一下软件绘制平面等距螺旋线的绘图过程,请看下图:

整卷线如何算出米数(如何计算卷筒卫生纸的长度)(7)

图1

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AI绘制等距螺旋线

Adobe illustrator,常被称为“AI”,是一个矢量图创作软件。看了上图,对我们探索平面等距螺旋线长度的计算方法很有启发。

明白了同心圆能够变换为螺旋线,一个最简单有力的计算方法呼之欲出:一条平面等距螺旋线的长度=对应的一组同心圆的周长之和的一半。换句话说,所求螺旋线长度=对应同心圆半圆弧长之和。

如果掌握了计算卷筒卫生纸长度的方法,那么计算快递粘胶带、电工常用的绝缘粘胶带、卷筒运输皮带等的长度也不在话下。

一组等距同心圆中,相邻两个圆的半径之差如果称为螺距,那么同心圆变形而成的等距螺旋线相邻两圈的半径之差也称为螺距。

计算卷筒卫生纸的长度这个问题的本质是求平面等距螺旋线的长度。这条螺旋线的螺距就是卫生纸的厚度。卫生纸的侧面是圆环,圆环的内外圆半径之差称为环宽。卫生纸在内芯芯筒上绕一圈,也就是旋转360°可以称为一圈或是一匝。环宽=螺距×匝数。环宽和螺距都是已知数,那么匝数也能够算出来了。

一匝的螺旋线长度等于两个半圆的弧长之和,这两个半圆的半径之差是一个螺距。匝数增加就是螺距增加,从1个螺距到n个螺距,就是一个等差数列,公差是螺距。

下面我们来看一道例题,实际计算一卷包装卷膜的长度。请看下图:

整卷线如何算出米数(如何计算卷筒卫生纸的长度)(9)

自动包装机使用的光电卷膜

假设这卷膜的圆环形横截面内圆半径是5cm,外圆半径是23.112cm,卷膜厚度是0.008cm,求卷膜长度是多少米?

我们用Excel来计算。环宽=外圆半径-内圆半径=23.112-5=18.112(cm),螺距=卷膜厚度=0.008(cm)

第一个半圆周长到第四个半圆周长(cm)分别是15.70796, 15.7331, 15.75823 ,15.78336。第2265个半圆周长是72.6084893267948,求和为100018.3825(cm),约等于1000米。把这2265个半圆依从小到大的顺序连续地缠绕在内芯卷筒上,就是这卷光电膜的实际长度。

这圈膜以三面封的形式制袋,按每个小袋袋长9.5cm计算,可以制100000÷9.5=10526.3158袋。这卷膜用了一部分没有用完,我们想知道还剩余多少米的长度,那么可以测量环宽,在刚才编制的Excel表格中查找数据,就能够知道卷膜的长度了。

补充一个计算卷膜长度的简单方法。请看下图:

整卷线如何算出米数(如何计算卷筒卫生纸的长度)(10)

塑料材质简介

在图中查看你要计算的卷膜是什么材质,相应的比重是多少。下图对你的判断可能有帮助。

整卷线如何算出米数(如何计算卷筒卫生纸的长度)(11)

常见塑料袋的材质

只要知道了卷膜的比重,就可以称重量计算体积,算出体积就自然能够求出卷膜的长度了。

更简单的方法是称卷膜的毛重,即卷膜本身重量加上内芯卷筒的重量,再减去内芯卷筒的重量得到卷膜的净重。卷膜的净重和卷膜长度成比例,用这个比例就能够计算出卷膜长度。

在测量环宽时,必须找准圆心,否则测量数据不准确导致计算出现较大误差。现在补充介绍一个知识点:已知一个弓形,如何找圆心,计算半径、圆心角、弧长和面积等。请看下图:

整卷线如何算出米数(如何计算卷筒卫生纸的长度)(12)

图中黄色部分就是弓形

圆的一条弦把圆分割为两个部分,只要这条弦不是直径,那么这两部分面积不相等,包含圆心的那部分是个弓形,由一段优弧和弦组成;不包含圆心的那部分,是我们最常见的弓形,由一段劣弧和弦组成。一般而言,我们所指的弓形,就是不包含圆心的那个弓形。

相关计算公式见下图:

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弓形相关数据计算公式

图上的弓形,如果我们知道弦长s和高度h,就能够求出圆的半径。计算的依据是圆的相交弦定理。

设P是圆内一点,弦AB和弦CD相交于点P,则有AP·PB=CP·PD

请看下图:

整卷线如何算出米数(如何计算卷筒卫生纸的长度)(14)

弓形已知弦长和高度找圆心计算半径示意图

在弓形CED中,已知弦长CD和高度EF,就可以求出半径R。直径BE垂直平分弦CD,根据相交弦定理,CF·FD=EF·FB,如果我们设圆的半径为R,弦CD的长度为B=2A,弓形高度EF为h,则可以推导出计算半径的公式:

A²=h(2R-h)=2Rh-h² ∴R=(A² h²)/2h

计算实例如下:

整卷线如何算出米数(如何计算卷筒卫生纸的长度)(15)

计算实例

如图,已知弓形AHB的弦长AB=16,高度CH=4,代入公式计算可得

R=(8² 4²)/2·4=80÷8=10

设:弓形的弦长为b,弓形的高为h, 半径为: R, 弧长为: L, 圆心角为: θ,计算圆心角的公式为:θ=4arctan(2h/b).(单位为:弧度).

计算弧长的公式为:L=2πR*( θ/360)

弧度和角度的转换公式:

弧度记为rad,角度记为deg,1πrad=180°,2πrad=360°

1rad=180°/π(约等于57.29577951°)

公式见下图:

整卷线如何算出米数(如何计算卷筒卫生纸的长度)(16)

角度和弧度转换公式

计算举例:

31°6′等于多少弧度?

一度=60分,1分=60秒,π弧度=180°,所以

31°6′=[31/180 6/(180×60)]π

=311π/1800(弧度)

科学尚未普及,媒体还需努力。感谢阅读,再见。

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