函数应该算是数学中最重要的概念之一，也是我们接触得比较多的数学对象，从小学到大学的数学学习之中，函数可以说无处不在。如今我们以极为简洁的方式定义了函数，然而函数概念的发展却并不是一帆风顺的，大量的数学家耗费将近三个世纪的时间才最终形成了一套成熟的函数语音。
将自然现象和规律用数学方式表达出来并加以研究应当说是近代科学得以发展的一个重要原因，而函数在这个过程中几乎起着决定性的作用。根据现存的资料，函数概念的雏形最早出现在葛列格里(1638~1675)的论文《论圆和双曲线的求积》中，他把函数定义为其他量通过一系列运算得到的量。但直到牛顿创立微积分理论，他也没有明确到底什么是“函数”，而只是使用“流数”这样的概念来表达变量之间的关系，在之后很长一段时间里，由于函数概念的含糊不清，微积分理论一直饱受争议。尽管如此，不严格的微积分理论还是催生了数学内外的大量成果，但不严格性始终如同达摩克斯之剑一般悬在数学家头上。
实际上，函数这个词出自“数学名词和符号圣手”莱布尼茨，他在1673年首先使用了“函数”这个词，并且提出了“变量”和“参变量”这样的概念，这已经非常接近函数如今的模样。牛顿和莱布尼茨时代的函数基本都是为了适应微积分理论而出现的，也就是说，这些函数都是可以用自变量明确表示出来的，而且满足可导性等较为严格的条件。但数学家们很快就发现，函数的解析性大大地局限了所能研究的范围，进而出现了连续函数的概念，当时被称之为“几何的函数”。这一时期的函数都具有强烈的几何色彩，也就是说，数学家所关心的函数都可以用图像表示出来，可以直观地感受函数的性质。
直观的函数概念对于数学本身的发展来说还远远不够，于是函数论的发展很快就走上了抽象化的过程。如今我们通用的函数记号f(x)是欧拉在1734年提出的，大概从这个时候起，函数论开始走上了独立的发展道路。1769年，达朗贝尔在研究中首先得到了函数方程：
之后柯西得到了更多具有数学和物理意义的函数方程，并且开始系统研究函数方程的解，取得了很多结果。但实际上，许多重要而困难的函数方程问题直到后来才由阿贝尔解决，同时，阿贝尔极大地推进了椭圆函数论的发展，从而函数论的发展有了质的提升。
在欧拉和拉格朗日之前，数学家和物理学家所研究的函数都是在定义域上整体定义的，直到对物理中弦振动仔细研究之后，欧拉和拉格朗日才首先提出了在不同区间上有不同表达式的函数。当时来自物理的直观在很长一段时间里给数学家一种错觉，那就是同一区间上处处拥有相同函数值的两个函数完全是同一个函数，即它们有相同的表达式。但这种错误最终还是被傅里叶揭示出来。在傅里叶著名的《热的解析理论》中，他创造性地利用三角级数来表达函数，从而举出了反例：
从中我们可以看到，尽管两个函数的值可能处处相同，但它们可以有不同的表达式，所代表的意义也是可以不一样的，不能称之为完全相同的一个函数。傅里叶的结果一出，立即引发了数学界强烈的震动，即使是拉格朗日这样伟大的人物也一时难以接受。这些已经说明，对函数固有的直观认识已经不能满足数学发展的需要了。
在19世纪初期，古典函数概念的缺陷越发明显，如果说傅里叶所揭示的问题还不算大错特错，那么从狄利克雷开始，函数的古典概念将受到致命打击。在此之前，在微积分教材上都可以找到“连续函数在某些连续点一定是可导的”这样的结论，即使是当时的大数学家也不会觉得有什么问题。实际上，这样的错误认识主要是因为对函数的认识仍未摆脱直观想象，同时函数的连续性和可导性到底意味着什么，当时的数学家也没搞清楚。
狄利克雷在1829年迈出了微积分严格化的第一步，他给出了著名的狄利克雷函数：
数学家们惊讶地发现，狄利克雷函数处处不连续，处处不可导，在任意区间上也不存在黎曼积分。狄利克雷函数极为“扭曲”的分析性质所带来的冲击甚至比傅里叶的例子还要大，对某些顽固的数学家来说，甚至是致命的，因为这个函数无法把它的图像直接画出来，完全没有任何解析性质，也就没法“想象”了。基于长期的考虑，1837年狄利克雷给出了我们今天所见到的函数定义：给定区间上的自变量x，都有唯一的因变量y与之对应，那么y是x的函数。集合论出现之后，1887年戴德金又给出了两个集合之间函数的定义，自此函数便有了摆脱直观而且明确的定义。
狄利克雷大概是历史上第一个真正考虑抽象函数的数学家，他关心函数的单调性，连续性，可导可积性等，而忽略函数的实际来源和物理几何意义，也就是说，狄利克雷关心的是函数本身的性质，而不是关于它的各种计算。应该说，从狄利克雷开始，对函数的认识实现了从具体到抽象的演变，而且事实证明，这不仅没有脱离实际，反而促进了函数的各种应用，因为数学想要发挥更大的作用，那么它本身必须要有坚实严格可信的基础。
狄利克雷算是开了个头，接下来柯西开始为极限和连续性等概念注入“严格”的灵魂，但他仍未摆脱“连续”的限制。在柯西的手中，他所考虑的函数都是连续的，这无论是对于数学本身还是物理等相关学科都是不够的。而突破连续性限制的第一人则是伟大的黎曼，在发展黎曼积分理论的过程中，黎曼给出了另一个著名的函数，也就是我们今天所说的黎曼函数：
黎曼函数在有理点不连续而在无理点连续，但出人意料的是它是可积的，这也就深刻揭示了可积函数与联系函数的巨大差异。但限于历史局限，黎曼也未能突破不连续点过多所带来的影响，这将留待后人解决。
分析学的严格化是数学史上长达百年的漫长过程，而这其中的集大成者正是大名鼎鼎的“现代分析学之父”魏尔斯特拉斯。魏尔斯特拉斯被称为“数学流言终结者”，他在一生中凭借强大的数学直觉，针对一些错误的数学想法，构造出了非常多的反例，其中最出名的便是给出了“处处连续但处处不可导”的函数：
对于这样连续却“没有导数”的函数，当时的著名法国数学家埃尔米特写到：“我简直惊恐万分，不愿意面对这样没有导数的连续函数，但很不幸，这就是事实！”。无数数学家的错误数学观念被这个函数冲垮了，它也再次说明，数学的灵魂是“严格”而非直觉。
当然，魏尔斯特拉斯并不满足于仅仅指出问题，他决心要结束关于微积分理论长达两百年的混战。魏尔斯特拉斯的伟大之处正在于，他可以从没有人关心的平凡细节中创造奇迹，可谓化腐朽为神奇。他观察到，真正决定函数性质的不是函数本身，而是实数，实数的性质完全决定了极限，连续，可微可导等函数概念，关于函数概念的含糊不清正是因为对实数的认识还不够。
从实数出发导出函数的各种概念，这样的想法受到了当时许多数学家的嘲讽，他们都认为魏尔斯特拉斯是在自寻烦恼。但魏尔斯特拉斯显然没有受这些干扰，他严格地构造完备实数系，并从实数系出发，定义函数的极限，连续性，可微可导性，可积性，级数的敛散性等等，从而一举解决了函数概念不严格的长期难题，把分析学建立在了严格坚实的数学基础之上，分析学的“算术化”也就圆满完成了。
关于魏尔斯特拉斯的伟大功绩，希尔伯特评价到：
“魏尔斯特拉斯以其酷爱批判的精神和深邃的洞察力，为数学分析建立了坚实的基础。通过澄清极小、极大、函数、导数等概念，他排除了在微积分中仍在出现的各种错误提法，扫清了关于无穷大、无穷小等各种混乱观念，决定性地克服了源于无穷大、无穷小朦胧思想的困难。今天，分析学能达到这样和谐可靠和完美的程度本质上应归功于魏尔斯特拉斯的数学活动”。
康托的集合论出现之后，戴德金以更为现代的观点叙述了实数系的完备性定理，这些在如今的数学分析教材中都可以找到。但一波刚平，一波再起，之前提到过，黎曼积分有无法克服的困难，而这在分析学的严格化之后再度引发了一场数学风暴。当然，这已经是另一个故事了……
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