作者 | 刘洋洲

来源 | 转自知乎专栏《万物皆数也》，“数学英才”获授权转载，在此感谢！

儿童节刚刚过去，本期文章我们谈谈童年回（噩）忆（梦）中的魔方。

也许这是一个略显愚蠢的问题：为什么一个完好的魔方总是可以恢复原样？这其实是一个既简单又深刻的问题。

答：魔方的每个状态都是由初始状态通过一系列有限的操作所得到的，这些操作包括（顺时针旋转上层四分之一周）、（顺时针旋转前层四分之一周）、（顺时针旋转右层四分之一周）……那我们只需要“原路返回”，不就可以回到起点了吗？

魔方有多少样（魔方这么多）(1)

魔方有多少样（魔方这么多）(2)

例如我们对魔方进行操作：，那么我们只需要再进行如下操作即可：

其中表示的反向操作，即「逆时针」旋转前层四分之一周，其余符号同理。不过按照魔方术语，往往用其小写字母表示，即。

在群论中，称为的「逆」，因为他们的复合的结果是「单位元」，即魔方会回到初始状况：

群的复合运算满足「结合律」，容易给出上面等式成立的证明：

一个代数系统如果满足三条性质，则称为群：

可见魔方确实是一个实实在在的「有限群（Finite group）」！

为什么说它有限呢？因为它是「置换群（Permutation group）」的「子群（Subgroup）」，置换群是有限群，而它的子群是由其元素的子集构成的更小的群，所以其子群也一定是有限群。

所谓置换群，用魔方来讲就是：魔方的所有状态构成一个有限集合。状态与状态之间的转移，就是群的元素。一个的魔方有6个面，每个面又分为9个小的块面，于是一共有54个小的块面。这些小的块面的颜色共同构成魔方的当前状态，如果这54个块面可以随意互换位置，那么构成的群我们记为。然而魔方由于其特殊的内部构造，使得这种随意性是不可能发生的，真实的情况则是的一个子群，我们称为「魔方群（Rubik' Cube group）」。

这个群的实际状态数已被数学家给出，它是一个巨大的数字：

大约是现在地球人口数目的平方。

有限，但太巨大了。所以回答是否存在魔方还原策略还远远不够，我们更关心的是，能否快速还原魔方？或者我们更进一步：还原一个魔方至多需要几步？

答：20步！

这个结果被称之为上帝之数。与平面图的四色定理（给不含有飞地的地图着色，使得邻国颜色不同，只需要四种颜色就够了）的证明类似，同样是通过计算机暴力证明。

这么多，那么少！

这意味着什么呢？说明魔方的各个状态高度关联，所有的状态统统被压缩在直径为20的高维球体内。

魔方有多少样（魔方这么多）(3)

通常购买魔方都会附有说明书，上面介绍的是还原魔方的公式。在套用这些公式时，我们似乎并不需要关注每个面块的状态，往往“糊里糊涂”地还原了魔方，知其然不知其所以然。而且还原的步数往往超过20步，这意味着这些公式有些“绕远路”。

我们如何理解魔方的还原公式呢？

我们可以将魔方群以图论的方式表示：每个状态记为一个节点，如果存在一个变换，可以从此状态得到彼状态，那么这两个节点必有一条边相连接，于是我们得到一个关于魔方状态的网络。在这个网络中，寻找最优路线对于新手而言是不切实际的，而还原公式帮助我们进入特定的轨道中，这个轨道就像是时钟表盘，而轨道上各个状态正如表盘上的刻度，而魔方的初始状态就是这个表盘上的12点，只要我们按照顺（逆）时针走，就一定会经过我们的目标。

魔方有多少样（魔方这么多）(4)

魔方群中这种类似于表盘结构的子群，我们称之为「循环群（Cyclic group）」，并且是有限循环群。

而魔方还原公式本身的结构也非常耐人寻味，例如

在群论中我们称之为的「共轭（Conjugate）」。在还原魔方的时候，我们往往会遇到这样的窘境：我们想让和交换，然而两者直接交换会影响到，然而我们并不想让发生改变……这个时候我们就利用和去消弭掉所带来的影响。与共轭的原理类似，我们还会用到「交换子（Commutator）」，形如。前文我们在定义群的时候，只提及了结合律而没有提及交换律，这是因为有大量的群是非交换的，例如矩阵群。交换群是没有所谓交换子的，这是因为

在某种意义上，交换子群（由交换子生成的群）提供了群的可交换程度。一个群内可交换的元素越多，交换子就越少，交换子群也就越小。

关于魔方的具体内容请读者参考《Group Theory via Rubik's Cube》（链接：http://geometer.org/rubik/group.pdf）。另外提供一个在线魔方的程序（链接：https://iamthecu.be），非常精美有趣。

R语言程序

下面是我写的2阶魔方的平面展开图，给定操作自动演算出结果。

魔方有多少样（魔方这么多）(5)

代码说明：

####2阶魔方#矩阵中心对称o <- function(A){t = A[1,1]A[1,1] = A[2,2]A[2,2] = tt = A[1,2]A[1,2] = A[2,1]A[2,1] = tA}#矩阵元素逆时针旋转r <- function(A){t = A[1,1]A[1,1] = A[1,2]A[1,2] = A[2,2]A[2,2] = A[2,1]A[2,1] = tA}#矩阵元素顺时针旋转v <- function(A){t = A[1,1]A[1,1] = A[2,1]A[2,1] = A[2,2]A[2,2] = A[1,2]A[1,2] = tA}#魔方的六个面A = matrix(rep(1,4),2)B = matrix(rep(2,4),2)C = matrix(rep(3,4),2)a = matrix(rep(4,4),2)b = matrix(rep(5,4),2)c = matrix(rep(6,4),2)#A为俯视图，B为正视图，C为右侧视图，X=A,B,C;结果为矩阵形式，方便绘图。Xup <- function(A,a,B,b,C,c){Aup = matrix(rep(0,48),6)Aup[3:4,5:6] = AAup[3:4,1:2] = aAup[1:2,5:6] = BAup[5:6,5:6] = bAup[3:4,3:4] = CAup[3:4,7:8] = cAup}cube = list(A,a,B,b,C,c)cube[[7]] = Xup(A,a,B,b,C,c)#B朝上的十字架展开图（A --> B），输入输出皆为列表ABup <- function(Aup){Bup = listBup[[1]] = Aup[[1]]Bup[[2]] = o(Aup[[2]])Bup[[3]] = Aup[[3]]Bup[[4]] = o(Aup[[4]])Bup[[5]] = v(Aup[[5]])Bup[[6]] = r(Aup[[6]])Bup[[7]] = Xup(Bup[[3]],Bup[[4]],Bup[[2]],Bup[[1]],Bup[[5]],Bup[[6]])Bup}#（B --> A）BAup <- function(Bup){Aup = listAup[[1]] = Bup[[1]]Aup[[2]] = o(Bup[[2]])Aup[[3]] = Bup[[3]]Aup[[4]] = o(Bup[[4]])Aup[[5]] = r(Bup[[5]])Aup[[6]] = v(Bup[[6]])Aup[[7]] = Xup(Aup[[1]],Aup[[2]],Aup[[3]],Aup[[4]],Aup[[5]],Aup[[6]])Aup}#C朝上的十字架展开图（A --> C）ACup <- function(Aup){Cup = listCup[[1]] = Aup[[1]]Cup[[2]] = Aup[[2]]Cup[[3]] = r(Aup[[3]])Cup[[4]] = v(Aup[[4]])Cup[[5]] = Aup[[5]]Cup[[6]] = Aup[[6]]Cup[[7]] = Xup(Cup[[5]],Cup[[6]],Cup[[3]],Cup[[4]],Cup[[2]],Cup[[1]])Cup}#（C --> A）CAup <- function(Cup){Aup = listAup[[1]] = Cup[[1]]Aup[[2]] = Cup[[2]]Aup[[3]] = v(Cup[[3]])Aup[[4]] = r(Cup[[4]])Aup[[5]] = Cup[[5]]Aup[[6]] = Cup[[6]]Aup[[7]] = Xup(Aup[[1]],Aup[[2]],Aup[[3]],Aup[[4]],Aup[[5]],Aup[[6]])Aup}#画出魔方展开图color = c("white","red","orange","yellow","green","blue","purple")par(mai=rep(0,4),oma=rep(0,4))plot(0,0, type = "n", xlim = c(0,7), ylim = c(0,9))draw <- function(Cube) #输入矩阵{for(i in 1:6)for(j in 1:8)points(i, j, pch = 15, cex = 4, col = color[Cube[i,j] 1])}draw(Xup(A,a,B,b,C,c)) #魔方初始状态##三大变换#对A（红色面）逆时针旋转90度；此时List应该是A面为俯视面的形式U <- function(List){unfold = Xup(List[[1]],List[[2]],List[[3]],List[[4]],List[[5]],List[[6]])A = matrix(rep(0,48),6)for(i in 2:5)for(j in 4:7) A[9-j,2 i] = unfold[i,j] #坐标旋转由复数推导unfold[2:5,4:7] = A[2:5,4:7]A = unfold[3:4,5:6]a = unfold[3:4,1:2]B = unfold[1:2,5:6]b = unfold[5:6,5:6]C = unfold[3:4,3:4]c = unfold[3:4,7:8]List = list(A,a,B,b,C,c,unfold)List}#U的逆变换，此时List应该是A面为俯视面的形式V <- function(List){unfold = Xup(List[[1]],List[[2]],List[[3]],List[[4]],List[[5]],List[[6]])A = matrix(rep(0,48),6)for(i in 2:5)for(j in 4:7) A[j-2,9-i] = unfold[i,j] #坐标旋转由复数推导unfold[2:5,4:7] = A[2:5,4:7]A = unfold[3:4,5:6]a = unfold[3:4,1:2]B = unfold[1:2,5:6]b = unfold[5:6,5:6]C = unfold[3:4,3:4]c = unfold[3:4,7:8]List = list(A,a,B,b,C,c,unfold)List}#对B（橙色面）逆时针旋转90度；此时List应该是B面为俯视面的形式F <- function(List){unfold = Xup(List[[3]],List[[4]],List[[2]],List[[1]],List[[5]],List[[6]])A = matrix(rep(0,48),6)for(i in 2:5)for(j in 4:7)A[9-j,2 i] = unfold[i,j] #坐标旋转由复数推导unfold[2:5,4:7] = A[2:5,4:7]B = unfold[3:4,5:6]b = unfold[3:4,1:2]a = unfold[1:2,5:6]A = unfold[5:6,5:6]C = unfold[3:4,3:4]c = unfold[3:4,7:8]List = list(A,a,B,b,C,c,unfold)List}#F的逆变换,此时List应该是B面为俯视面的形式E <- function(List){unfold = Xup(List[[3]],List[[4]],List[[2]],List[[1]],List[[5]],List[[6]])A = matrix(rep(0,48),6)for(i in 2:5)for(j in 4:7)A[j-2,9-i] = unfold[i,j] #坐标旋转由复数推导unfold[2:5,4:7] = A[2:5,4:7]B = unfold[3:4,5:6]b = unfold[3:4,1:2]a = unfold[1:2,5:6]A = unfold[5:6,5:6]C = unfold[3:4,3:4]c = unfold[3:4,7:8]List = list(A,a,B,b,C,c,unfold)List}#对C（黄色面）逆时针旋转90度;此时List应该是C面为俯视面的形式R <- function(List){unfold = Xup(List[[5]],List[[6]],List[[3]],List[[4]],List[[2]],List[[1]])A = matrix(rep(0,48),6)for(i in 2:5)for(j in 4:7)A[9-j,2 i] = unfold[i,j] #坐标旋转由复数推导unfold[2:5,4:7] = A[2:5,4:7]C = unfold[3:4,5:6]c = unfold[3:4,1:2]B = unfold[1:2,5:6]b = unfold[5:6,5:6]A = unfold[3:4,7:8]a = unfold[3:4,3:4]List = list(A,a,B,b,C,c,unfold)List}#R的逆变换,此时List应该是C面为俯视面的形式K <- function(List){unfold = Xup(List[[5]],List[[6]],List[[3]],List[[4]],List[[2]],List[[1]])A = matrix(rep(0,48),6)for(i in 2:5)for(j in 4:7)A[j-2,9-i] = unfold[i,j] #坐标旋转由复数推导unfold[2:5,4:7] = A[2:5,4:7]C = unfold[3:4,5:6]c = unfold[3:4,1:2]B = unfold[1:2,5:6]b = unfold[5:6,5:6]a = unfold[3:4,3:4]A = unfold[3:4,7:8]List = list(A,a,B,b,C,c,unfold)List}#魔方的变换Transform <- function(Cha) #输入由U/V/F/E/R/K构成的字符串{Cha = unlist(strsplit(Cha,split="")) #将字符串的字母逐个拆开for(i in Cha){if(i=="U"){cube = U(cube)}if(i=="V"){cube = V(cube)}if(i=="F"){cube = F(ABup(cube)); cube = BAup(cube)}if(i=="E"){cube = E(ABup(cube)); cube = BAup(cube)}if(i=="R"){cube = R(ACup(cube)); cube = CAup(cube)}if(i=="K"){cube = K(ACup(cube)); cube = CAup(cube)}draw(cube[[7]])Sys.sleep(0.2)}cube[[7]]}Transform(rep("RVE",30))

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