定积分的证明题是考研中必考题型,主要涉及到讨论变限积分所定义的函数的极限、导数、奇偶性、周期性、单调性和求被积函数;讨论定积分或变限积分的不等式,或者定积分、变限积分的零点问题。需要重点掌握定积分的如下性质:

数学微积分证明题(高等数学之定积分证明题的问题方法总结)(1)

证明某积分不等式,是考研中经常见到的问题,处理这类问题有三种方法:

(1)将要证的某某>0的一边看成变限函数,用微分学的办法证此不等式(例如单调性,最值,拉格朗日中值定理等),这是考研中经常用到的方法。

(2)利用积分性质,例如积分中值定理,积分变量代换,分部积分等方法,经变形并计算。

例1:

数学微积分证明题(高等数学之定积分证明题的问题方法总结)(2)

分析:凡是微分中值定理中又涉及积分中值定理的,应首先应用积分中值定理获取一些特定点的函数值信息,再用微分中值定理证明。

证明:

数学微积分证明题(高等数学之定积分证明题的问题方法总结)(3)

利用积分中值定理证明

例2:

数学微积分证明题(高等数学之定积分证明题的问题方法总结)(4)

证明:

数学微积分证明题(高等数学之定积分证明题的问题方法总结)(5)

利用第一种方法证明

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