第94回
蝴蝶飞舞，洪水肆孽流沙河
拦水筑坝，沙僧水上展神功
话说N号台风"蝴蝶"带来强烈的降雨，引发流沙河洪水泛滥，位于上游一座古桥被冲毁，如图1就是这座连接上游南北两岸被毁后的残桥，大桥上的DB部分已经毁坏断掉.
洪水退后，大桥修复指挥部邀请沙僧当顾问，沙僧勘察现场后说："修复这座桥梁的第一步是需要先测量毁坏的桥梁DB的长."
"可是，直接测量DB的长很危险."工作人员问道，"能不能有其他的测量的方法？"
"你们看到对面断桥上的旗杆AB了没有？"沙僧站在站在断桥CD上的点C处说，"你们在点C处先测量一下旗杆顶端A的仰角，然后前进到点D处，再测一下旗杆顶端A的仰角以及CD的长."
工作人员按照沙僧的吩咐一一照办，并将测量结果呈报给沙僧说："沙总，在点C处测得旗杆顶端A的仰角是30°，前进10米到达点D处，测得旗杆的顶端A的仰角为45°."
"辛苦了各位，谢谢大家。"沙僧说，"现在的问题转化为数学问题就是：已知△ABC中，∠ABC=90°，D是BC上一个点，∠ACB=30°，∠ADB=45°，CD=10，求BD的长。"
"BD是Rt△ABD的直角边，而在这个直角三角形中，只知道∠ADB=45°，不知道边的长，如何求BD呢？"工作人员问。
"有了∠ADB=45°我们就可以知道BD=AB……"
"可是不知道旗杆AB的高又有什么用呢？"一个工作人员说，"要不问一下看有谁知道旗杆高的没有？"
"不用问了。在这种未知与未知之间存在相等关系的情况下运用方程就可以了。" 沙僧说，"设DB的长为x米，则由∠ADB=45°，得旗杆AB的高度也是x米，则在Rt△ABC中，BC=x 10，AB=x，
由∠ACB=30°及tan∠ACB=AB/BC，得tan30°=AB/BC，
所以√3/3=x/(x 10)，
去分母，整理，得（3-√2）x=10√3，
所以x=10√3/(3-√3)=5√3 5≈13.66（米）.
因此，毁坏部分的桥BD的长为（5√3 5）米."
古桥修复后，指挥部在总结经验与教训时指出，此次古桥被毁，除了N号台风带来的强降水这个天灾外，还有一个原因是因为流沙河上游的河床比较陡峭，河水流速快等因素，为了确保修复后的古桥更加稳固，建议在桥的下游附近修筑一座大坝，减缓上游河水的流速，从而减轻河水对桥墩的冲击力.
筑坝工程队接到任务后，设计了如图2的大坝修建方案：其横断面为等腰梯形ABCD，坝顶宽10米，坝高12米，斜坡AB的坡度i=1：1.5.
在论证大坝设计方案会议上，许多对流沙河不熟悉的人沉默不语。会议主持人说："沙总，您对流沙河比较熟悉，说说你的看法。"
"我认为这个大坝的设计方案不切合实际."沙僧思考片刻后反对说，"因为流沙河上游的河床比较陡峭，按照这个方案修建的话，大坝真的太大了。再说我们修建这个大坝的目的不是要拦水发电，只是要减缓河水的冲击力而已。而如此庞大的大坝要花费很多人力、物力和财力的，非常的不合算。"
"那该怎么办呢？"
"根据河床特征，把把坝顶宽10米缩短为6米，坝高12米降低为5米，迎水坡AB的坡度1：1.5可改为陡峭一些，就改为1：0.8吧，出水坡CD的坡度可改为平缓一些可以减小对大坝下游的冲击，我看把1：1.5改为1：2吧。"沙僧说完问道，"大家讨论一下我这个方案是否可行？如果可行的话，那么这个方案比原方案我粗略算了一下起码可以节省数千万元。"
"非常合理。"小小会议室顿时响起了热烈的掌声，"只是怎么能节省那么多钱呢？您又是根据什么计算出来的呢？"
"我是这样估算的。"沙僧说，"河宽估计有将近200米吧？如果这个估计无误的话那就说明修建的这座大坝长至少也有200米，按目前的造价，修建大坝的费用时按土石方计算的，大约是每立方米500元。大家可以算一下原方案需要多少费用？改进后又是需要多少？然后比较一下就知道能节省多少钱了。"
"大家算一下原方案的大坝共有多少立方米？"主持人提示说，"先求大坝横截面ABCD的面积，再乘以大坝的长200米就是大坝的土石方数了。"
"怎么求横截面积呢？"有许多人像是没有上过学似的。
"横截面是梯形，它的面积是上底加下底，乘以高除以2."沙僧说，"根据原设计方案，上底BC=10，高是12，先求下底AD的长。"
"如何求下底AD的长呢？"许多人还是不明白。
"还是我来解给大家看看吧。"沙僧说，"作梯形的高BE、CF，把坝底AD分成三段AE、EF、FD，再分别求之.
在Rt△ABE中，因为坝高BE=12米，斜坡AB的坡度i=1：1.5，所以BE/AE=1：1.5，即12/AE=1/1.5，所以AE=1.5×12=18（米）；
由于梯形ABCD是等腰梯形，所以DF=AE=18（米）；
又四边形BCFE是矩形，所以EF=BC=10米.
所以AD=2AE BC=2×18 10=46（米）。
所以梯形ABCD的面积=1/2×（10 46）×12
=336（平方米），
所以原大坝的体积为336×200=67200（立方米），
需要费用为67200×500=33600000（元）=3360万元。"
"按照您的方案需要多少万元呢？"大家异口同声问道。
"主持人，你给大家算一下吧。"
"仿照沙总的方法，改进后梯形的下底A/D=A/E EF/ F/D/
=4 6 10=20(米)，"主持人说，"所以，
横截面梯形A/B/C/D/的面积等于1/2×（6 20）×5
=65（平方米），
体积为65×200=13000立方米，
所需要的费用为13000×500=6500000（元）=650（万元）。
3360-650=2710。
你们看，可以节省2710万元。"
"哇，真没想到几个数据稍作改动一下竟然节省了这么多钱啊！"众人发出惊叹后问道，"大坝的具体长度是多少米呢？"
"我们现在去测量一下河宽是多少就知道了。"
大家一起来到了河边，滔滔的河水"轰轰"作响，震耳欲聋。有人建议找来几个水性好的年轻人帮忙带着细绳子游过河的对岸去度量，马上遭到了深谙水性的沙僧反对说："不行，水流这么急太危险了。"
"那怎么办，难道说不过河可以测量出河宽？"
"大家看到河对岸那棵歪脖子柳树了吗？"沙僧站在如图3的点A 处指着河对岸点B处的一棵柳树对大家说，"这棵柳树在我这个位置的北偏东30°方向上."
沙僧说完后大家随着他沿着河岸向正东方向行走，走了300米到达点C后停下来，回头望着对岸的那棵歪脖柳树对大家说："现在那棵柳树恰好在我这个位置的西北方向（即北偏西45°）。有了这三个件就可以计算河宽了。"
"在△ABC中，只知道∠BAC=90°-30°=60°，∠BCA=90°-45°=45°，AC=300米，怎么求河宽呢？"大家疑惑地说，"再说∠ABC=180°-60°-45°=75°，△ABC又不是直角三角形。"
"因为要知道河宽，所以我们必须先找到或作出一条表示河宽的线段。"沙僧说，"过点B作BD⊥AC于D，则BD的长就是河宽。"
"可是不论是在Rt△ABD还是△BCD中，已知长的边都没有，怎么求BD呢？"
"虽然如此，但不是有BD DC=AC=300吗？"沙僧说，"设BD=x米，则在Rt△ABD中，AD＝BD·tan∠ABD=x·tan30°＝√3/3·x；
在Rt△BCD中，DC＝BD·tan∠CBD=x·tan45°＝x。
所以√3/3·x x=300，
解得x=900/(3 √3) =150（3-√3）≈190（米）。"
"光河宽就有190米，修建的大坝再加上两端伸的坝墩的确需要200米长。沙总的估算真准啊！"
欲知后事如何，请看下回分解。
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