傅里叶变换基本公式（手把手带你以数学的角度）

前言

由于本文章有较多的数学公式，可能对于一些数学底子不好地看起来有些费力，建议可看自己理解部分。公式排版不是很顺畅，有兴趣可以点击下方的"了解更多"，可以看到更详细的内容。

傅里叶分析对于工科大部分的学生来说，那绝对是一场噩梦，那是因为傅里叶变换的公式太复杂了，可能是课本给的推导过程过于官方和严谨，让你视乎看不到一丝理解的希望，本篇和下几篇文章将以高中的三角函数讲起，带去理解傅里叶变换和应用，并验证所得到的表达式是否正确，希望对您有所帮助！

一、 三角函数的正交性1.1 三角函数系

形如：cos0x，sin0x，cos1x，sin1x，cos2x，sin2x，…，cosnx，sinnx这样的三角函数，在【-π，π】上满足正交，即其中任意两个不同的函数之积在【-π，π】上的积分等于0。

正交性数学表达式：

理解正交性

正交性相当两个向量的垂直，在平面直角坐标系中夹角为90°。

设两个向量的起点为原点，切夹角为90°。

则做内积为

两个向量正交的话，内积为0，

例子：

这两个向量垂直正交。将向量拓展到n维向量中，

则有：

再拓展到函数中;

设：a=f(x),b=g(x)

对应的点相乘，在连续的区间内，将对应的点乘积相加，即取a,b的积分在【x1，x2】上有：

2.1证明

其他的组合可自行验证，这里我就不再啰嗦了。

若m = n呢？

二、周期为2π的函数的傅里叶级数展开

傅里叶级数展开式：

在课本上的傅里叶展开式为：

课本上把n=0单独列出来，求a0值。

从（2-1）式子推导到（2-4）如下：

2.1 求a0 ：

对式子（2-4）进行两边取积分

又因为：

所以：

则教材书上的是

，则消掉

​ 式子中的2（已消除），与此后式子保持形式上的一致性。

2.2 求an ：

对（2-2）进行操作如下：

1.先在等式两边乘以

2.在对式子做积分

​

因为：

​

所以：

​

1. 当n≠m​ ，又三角函数正交性，式子​ 右边等式为0
2. 当n=m 时

​

​

则有：

​

2.3 求bn ：

对（2-2）进行操作如下：

1.先在等式两边乘以sinmx

2.在对式子做积分

因为：

所以：

1. 当n≠m ，又三角函数正交性，式子（2-13）​ 右边等式为0
2. 当n=m 时

​

即有：

​

2.4 综上所述

周期为2π的周期函数傅里叶展开式为：

​

同时：

​

​

​

三、周期为2L的函数的傅里叶级数展开

周期函数的表示为：

用上面的方法，可用换元法，即得到

​ ，则

所以：

​

则有：

​

将

​ 代入到上面的式子中，得到

​ ，

​ 代入到上面的式子中。

工程实际运用中

t从0开始，周期为2l，

​

​

代入式子得到

​ 得

​

扩展：当T趋向于无限大，认为​不在是周期函数，该怎么表示它的傅里叶级数呢？

如有兴趣可以点击下方的"了解更多"

水平有限，如有错误，请指教不胜感情。如果您有其他看法，欢迎在下方讨论，谢谢！

,