平行四边形是中考必考内容之一,我们将从知识点总结、常见考法和误区提醒三个方面进行讲解。离中考的脚步越来越近,每天解决一个小问题,那么每一天都在进步。

知识点总结

1.平行四边形的概念

两组对边分别平行的四边形叫平行四边形,满足一组对边平行,另外一组对边不平行的四边形叫梯形。平行四边形的基本概念,也是判定四边形为平行四边形的一种方法。

2.平行四边形的性质

平行四边形的性质可以从边、角、对角线、对称性四个方面来进行讨论。

(1)从边上看,平行四边形的对边平行且相等,邻边之和的两倍等于平行四边形的周长;(2)从角看,平行四边形的对角相等,邻角互补;(3)从对角线上看,平行四边形的对角线互相平分(注意:只满足互相平分,不满足相等、垂直等);(4)从对称性看,平行四边形是中心对称图形,不是轴对称图形。

平行四边形专题中考题(平行四边形知识点总结)(1)

3.平行四边形的判定

平行四边形的判定从边、角、对角线三方面看,但是课本中所给的判定定理是从边和对角线两方面进行阐述。

(1)从边上看,首先由其概念可得,两组对边分别平行的四边形是平行四边形,其次,两组对边分别相等的四边形是平行四边形,一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;(2)从对角线上看,对角线互相平分的四边形是平行四边形;(3)从角上看,对角相等的四边形是平行四边形。

常见题型分析

(1)利用平行四边形的性质,求角度、线段长、周长等

例题1:(2020泉港区一模)如图,E、F在ABCD的对角线AC上,AE=EF=CD,∠ADF=90°,∠BCD=54°,求∠ADE的度数

平行四边形专题中考题(平行四边形知识点总结)(2)

分析:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,由此可以得到DE=AE=EF=CD,多条线段相等,可设最小的角为x,即设∠EAD=∠ADE=x,根据外角等于不相邻的内角和,得到∠DEC=∠DCE=2x,由平行四边形的性质得出∠DCE=∠BCD-∠BCA=54°-x,得出方程,解方程即可。

平行四边形专题中考题(平行四边形知识点总结)(3)

例题2:(2020河北模拟)如图,已知四边形ABCD和四边形ADEF均为平行四边形,点B,C,F,E在同一直线上,AF交CD于O,若BC=10,AO=FO,求CE的长。

平行四边形专题中考题(平行四边形知识点总结)(4)

分析:根据平行四边形的性质得出AD=BC=EF,AD∥BE,从而得到∠DAO=∠CFO,再加上对顶角相等,可以得到△AOD≌△FOC,根据全等三角形的性质得到AD=CF,即AD=BC=EF=CF,从而得到线段CE的长度。也可以借助中位线定理解决。

解:∵四边形ABCD和四边形ADEF均为平行四边形,

∴AD=BC,AD=FE,AD∥BE,AF∥DE,

∴AD=BC=FE=10,

∵AF∥DE,AO=FO,

∴CF=FE=10,

∴CE=10 10=20

平行四边形专题中考题(平行四边形知识点总结)(5)

(2)求线段(边或对角线)的取值范围

例题3:(2019秋莱芜区期末)在平行四边形ABCD中,AB=4,BC=6,对角线AC、BD相交于点O,则OA的取值范围是多少?

分析:由AB=4,BC=6,利用三角形的三边关系,即可求得2<AC<10,根据平行四边形的对角线互相平分,得到OA的取值范围,为1<OA<5.

(3)利用平行四边形的性质证明角相等、边相等和直线平行

例题4:(2020春丽水期中)如图,已知E,F分别是ABCD的边CD,AB上的点,且DE=BF.求证:AE∥CF.

平行四边形专题中考题(平行四边形知识点总结)(6)

分析:由四边形ABCD为平行四边形可得:AB=CD,AB∥CD。由已知条件DE=BF,根据等边减等边可得AF=CE,由此可证明四边形AECF为平行四边形,从而得到AE∥CF。通过此题可知,平行四边形又为我们证明直线平行增加了一种方法。

证明:∵四边形ABCD为平行四边形,∴AB∥CD,AB=CD

又∵DE=BF,∴AB-BF=CD-DE,即AF=CE

∴四边形AECF为平行四边形,∴AE∥CF

例题5:(2020山西模拟)如图,在ABCD中,点E是BC上的一点,连接DE,在DE上取一点F使得∠AFE=∠ADC.若DE=AD,求证:DF=CE.

平行四边形专题中考题(平行四边形知识点总结)(7)

分析:根据平行四边形的性质得到∠C ∠B=180°,∠ADF=∠DEC,根据题意得到∠AFD=∠C,根据全等三角形的判定和性质定理证明即可

证明:∵四边形ABCD是平行四边形,

∴∠B=∠ADC,AB∥CD,AD∥BC,

∴∠C ∠B=180°,∠ADF=∠DEC,

∵∠AFD ∠AFE=180°,∠AFE=∠ADC,

∴∠AFD=∠C,

又∵AD=DE,∴△AFD≌△DCE(AAS),∴DF=CE.

平行四边形专题中考题(平行四边形知识点总结)(8)

(4)利用判定定理证明四边形为平行四边形

例题6:(2020春鼓楼区校级月考)如图,在ABCD中,点E、F在BD上,且BE=AB,DF=CD.求证:四边形AECF是平行四边形.

平行四边形专题中考题(平行四边形知识点总结)(9)

分析:根据平行四边形的性质可得AB=CD,再加上BE=AB,DF=CD,可以得到BE=DF。平行四边形的对角线互相平分,连接AC交BD于点0,得到OA=OC,OB=OD,等线段减等线段得到OE=OF,根据对角线互相平分的四边形为平行四边形可证明到结论。

证明:连接AC交BD于O,

∵四边形ABCD是平行四边形,

∴OA=OC,OB=OD,AB=CD,

∵BE=AB,DF=CD,

∴BE=DF,∴BO-BE=OD-DF,即OE=OF,

∴四边形AECF是平行四边形.

例题7:(2019秋莱芜区期末)如图,已知平行四边形ABCD中,BD是它的一条对角线,过A、C两点作AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为E、F,延长AE、CF分别交CD、AB于点M、N.求证:四边形CMAN是平行四边形

平行四边形专题中考题(平行四边形知识点总结)(10)

证明:∵AE⊥BD,CF⊥BD,

∴AM∥CN,

∵四边形ABCD是平行四边形,∴CM∥AN

∴四边形CMAN是平行四边形

平行四边形专题中考题(平行四边形知识点总结)(11)

误区提醒

(1)平行四边形的对角线是互相平分,不相等,也不垂直,也不会平分一组对角;

(2)当满足一组对边平行且相等时,可证明四边形为平行四边形,当一组对边平行,另外一组对边相等,不能证明该四边形是平行四边形,该四边形可能为梯形;

(3)平行四边形对角相等,邻角互补,对角不一定互补;

(4)平行四边形的邻边没有什么特殊的性质,邻边之和的两倍等于该平行四边形的周长。

证明平行四边形的方法较多,因此在证明一个四边形是平行四边形时选对方法很重要,同一道题目选择不同的方法,证明的难易程度、繁琐程度会相差很大。

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