题目为：
已知：如图，△ABC中,AB=AC,D,E,F在三边BC,CA,AB上且DFAE为平行四边形。圆ABC,圆AEF交于A,G,DE交圆AEF于K。M,L在圆AEF,ABC上且LG⊥GK,MG⊥CG.P,Q为△DGL,△DGM外心。
求证：A,G,P,Q共圆。（2018年中国国家队选拔考试4-3）
思路分析：
此题显然是前面的问题的进一步深化，
此图形结构我还是比较熟悉的。所以
基本思路是
首先按顺序作出准确图形，
并了解各个元素的生成过程。
然后分析图形的基本性质，
设△ABC,△EF外心为O,O',
AD中点为H,
在前面结论的基础上，可以得到：
1、O在圆O'上且为EF弧的中点，故
O'HO共线且为EF中垂线；
2、EF为DG中垂线，从而P,Q,H均在EF上；
3、GAEF为等腰梯形；
4、OP为GL中垂线，O'Q为GM中垂线；
其次我们从结果入手开始分析，
由前面结论得到GAQP为梯形，
故欲证GAQP四点共圆，
即证GAQP为等腰梯形，
即证HP=HQ即可。
图形还是比较复杂的，看起来没有头绪。
下面我们希望能充分利用已知条件，
通过消点简化图形。
此题中最关键的显然是描述清楚Q、P。
已得Q、P在EF上，还需要一个条件。
图形中最“讨厌”的显然是点M、L，
由他们才能确定圆心Q、P，
由LG⊥GK及OP⊥GL知OP//KG,
这样我们就能通过OP//KG确定P，就能消去点L了，
同理O'Q//CG,这样就能消去心腹大患——点M、L了，
这个思路应该是有希望的，从而我们
消去M、L得到下图。
这样一来本题转化为：
已知：如图，AB=AC,D,E,F在三边上且DFAE为平行四边形。
H为AD中点，O,O'为△ABC,△AEF外心，
P,Q在EF上，且O'Q//CG,OP//GK,
求证HP=HQ。
下面的思路当然是“得寸进尺”，
希望能利用条件中的O'Q//CG及OP//GK,
进一步消去点P、Q。从而继续简化图形。
自然的思路是将HP=HQ转化为∠OPH和∠O'QH之间的关系。
设EF交GC,GK于T、S，显然
HP=HQ
<=>tan∠OPH/tan∠O'QH=HO/HO'
<=>tan∠GSN/tan∠GTN=HO/HO'
这样就能如愿的消去P、Q得到下图，
在此图中，
我们只需证明tan∠GSN/tan∠GTN=HO/HO'，
连接O’E,OE,
显然HO/HO'=tan∠EO'H/tan∠HOE，
从而需证
tan∠GSN/tan∠GTN=tan∠EO'H/tan∠HOE,
最好得结果是比例中的两对角能对应相等。
这确实是可以通过倒角证明的。
这是因为
∠GSN=∠AGK=∠KEC=∠A=∠EO'H,
而∠GTN=∠AGC=∠ABC=90°-0.5∠A=∠EOH,
从而成立。
这样我们就通过消点法，先消去M、L，再消去P、Q，
最后通过倒角及简答的计算完成了最终证明。
下面我们将上述证明整理出来，将其中的跳步补上，
并只用倒角、全等、相似等基本知识证明清楚其中的关系。
叙述如下：
证明：
设△ABC,△EF外心为O,O',AD中点为H,
依题意显然△OAB≅△OCA,
又BF/FA=BD/DC=AE/EC,
则F、E为全等对应点，
故∠BFO=∠AEO,
则AFOE共圆，
故O在圆O'上且为EF弧的中点。
则O'HO共线且为EF中垂线；
又OO'⊥AG,
则GAEF为等腰梯形。
则GF=AE=DF且GE=AF=ED,
故EF为DG中垂线，
从而P,Q,H均在EF上；
又由LG⊥GK及OP为GL中垂线，
知OP//GK，
同理O'Q//CG。
则∠HPO=∠GSN=∠AGK=∠KEC=∠BAC=∠EO'H,
∠O'QH=∠GTN=∠AGC=∠ABC
=90°-∠BAO=90°-∠HEO=∠EOH,
故tan∠HPO/tan∠O'QH=tan∠EO'H/tan∠EOH
即HO/HP*HO'/HQ=HO/HO',
故HP=HQ，
故GAQP为等腰梯形，
则GAQP共圆。
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