初中数学取中点(初中数学中点再熟悉)(1)

前面的文章中介绍了面对中点时可采取的策略,即倍长构造全等(8字型),构造中位线以及构造直角三角形斜边中线。本文仍以两例再加以熟悉。



【例1】如图,在△ABC中,点D,E,F分别是AB,BC,AC的中点,AH是BC边上的高,求证∠DEF=∠DHF.

初中数学取中点(初中数学中点再熟悉)(2)

【分析】首先由中位线的性质可得四边形ADEF是平行四边形,其次由直角三角形斜边上的中线性质易知∠FAH=∠AHF,∠DAH=∠DHA,最后利用等式性质得证。


初中数学取中点(初中数学中点再熟悉)(3)

【解答】∵D,E分别是AB,BC的中点

∴DE∥AC

同理,EF∥AB

四边形ADEF是平行四边形

∴∠DEF=∠DAF

∵A在Rt△AHC中,F是AC的中点

∴FH=FA=FC

∴∠1=∠2

同理,∠3=∠4

∴∠1 ∠4=∠2 ∠3

即∠DHF=∠DAF

∴∠DEF=∠DHF


【例2】如图,在平行四边形ABCD中,AD=2AB,F是AD的中点,作CE⊥AB,垂足E在线段AB上,连接CF,EF.

求证:(1)EF=CF;(2)∠EFD=3∠AEF.

初中数学取中点(初中数学中点再熟悉)(4)


【分析】此题的关键是用好中点F以及CE⊥AB这两个条件。那么如何构图才能使这两个条件发挥得淋漓尽致呢?

【简答】延长CF,BA,相交于G点

初中数学取中点(初中数学中点再熟悉)(5)

(1) 易知△AFG≌△DFC

∴GF=FC

即F是GC的中点

又∵△CEG是直角三角形

∴EF=GF=FC


初中数学取中点(初中数学中点再熟悉)(6)

(2) 易知FD=CD

∴∠1=∠2

又∵∠1=∠3,∠3=∠4

∴∠2=∠4

∵∠3 ∠4=∠5

∴∠5=2∠4

∴ ∠EFD=∠5 ∠2=2∠4 ∠4=3∠4

即∠EFD=3∠AEF



解题感悟:

延长中线既构造了8字型全等,又构造了直角三角形斜边中线,一举两得,一箭双雕,妙哉!

见到中点有三法,

一是倍长中线法,

二是斜边中线法,

三是两边中点相连法

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