中考数学四边形探究题典例
例1：(2016 河南省) 22.（1）发现：如图1，点A为线段BC外一动点，且BC=a，AB=b．
填空：当点A位于时，线段AC的长取得最大值，且最大值为（用含a，b的式子表示）
（2）应用：点A为线段BC外一动点，且BC=3，AB=1，如图2所示，分别以AB，AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD，BE．
分析（1）根据点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，即可得到结论；
（2）①根据等边三角形的性质得到AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，推出△CAD≌△EAB，根据全等三角形的性质得到CD=BE；②由于线段BE长的最大值=线段CD的最大值，根据（1）中的结论即可得到结果；
（3）连接BM，将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN，连接AN，得到△APN是等腰直角三角形，根据全等三角形的性质得到PN=PA=2，BN=AM，根据当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，即可得到最大值为2根号2 3；如图2，过P作PE⊥x轴于E，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．
解答解：（1）∵点A为线段BC外一动点，且BC=a，AB=b，
∴当点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，且最大值为BC AB=a b，
故答案为：CB的延长线上，a b；
（2）①CD=BE，
理由：∵△ABD与△ACE是等边三角形，
∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，
∴∠BAD ∠BAC=∠CAE ∠BAC，
即∠CAD=∠EAB，
在△CAD与△EAB中，AD=AB，∠CAD=∠EAB，AC=AE
∴△CAD≌△EAB，
∴CD=BE；
②∵线段BE长的最大值=线段CD的最大值，
由（1）知，当线段CD的长取得最大值时，点D在CB的延长线上，
∴最大值为BD BC=AB BC=4；
（3）连接BM，将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN，连接AN，
则△APN是等腰直角三角形，
∴PN=PA=2，BN=AM，
∵A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），
∴OA=2，OB=5，
∴AB=3，
∴线段AM长的最大值=线段BN长的最大值，
∴当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，
最大值=AB AN，
∵AN=根号2倍AP=2倍根号2，
∴最大值为2倍根号2 3；
如图2，过P作PE⊥x轴于E，
∵△APN是等腰直角三角形，
∴PE=AE=根号2，
∴OE=BO﹣根号2﹣3=2﹣根号2，
∴P（2﹣根号2，根号2）．
例2：
在学习了图形的旋转知识后，数学兴趣小组的同学们又进一步对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了探究．
（一）尝试探究
如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，∠ABC＝∠ADC＝90°，点E、F
分別在线段BC、CD上，∠EAF＝30°，连接EF．
（1）如图2，将△ABE绕点A逆时针旋转60°后得到△A′B′E′（A′B′与AD重合），请直
接写出∠E′AF＝________度，线段BE、EF、FD之间的数量关系为________；
（2）如图3，当点E、F分别在线段BC、CD的延长线上时，其他条件不变，请探究线
段BE、EF、FD之间的数量关系，并说明理由.
（二）拓展延伸
如图4，在等边△ABC中，E、F是边BC上的两点，∠EAF＝30°，BE＝1，将△ABE
绕点A逆时针旋转60°得到△A′B′E′（A′B′与AC重合），连接EE′，AF与EE′交于点N，过点A作AM⊥BC于点M，连接MN，求线段MN的长度．
解析：
（一）尝试探究:
（1）∠E′AF＝30°，线段BE、EF、FD之间的数量关系为：EF＝BE＋FD．
理由：∵将△ABE绕点A逆时针旋转60°得到△A′B′E′，
∴AE′＝AE，∠A′B′E′＝∠B＝90°，B′E′＝BE，∠B′A′E′＝∠BAE．
∵∠ADC＝90°，
∴∠ADC＋∠A′B′E′＝180°．
∴F、D、E′在同一条直线上．
∵∠BAD＝60°，∠EAF＝30°，
∴∠BAE＋∠FAD＝30°．
∴∠B′A′E′＋∠FAD＝30°．
∴∠E′AF＝∠FAE＝30°．
又∵AE′＝AE，AF＝AF，
∴△AFE≌△AFE′．
∴EF＝E′F＝DF＋DE′＝DF＋BE．
（2）在图3中，线段BE、EF、FD之间的数量关系为：EF＝BE－FD．
理由：如答案图1，将△ABE绕点A逆时针旋转60°后得到△A′B′E′（A′B′与AD重合）．
∵将△ABE绕点A逆时针旋转60°得到△A′B′E′，
∴AE′＝AE，∠A′B′E′＝∠B＝90°，B′E′＝BE，∠B′A′E′＝∠BAE．
∵∠ADC＝90°，
∴∠ADC＋∠A′B′E′＝180°．
∴F、D、E′在同一条直线上．
∵∠BAE＋∠EAD＝60°，∠B′A′E′＝∠BAE，
∴∠B′A′E′＋∠EAD＝60°．
即∠E′AE＝60°．
又∵∠EAF＝30°
∴∠E′AF＝∠E′AE―∠EAF＝60°―30°=30°．
∴∠EAF＝∠E′AF．
又∵AE′＝AE，AF＝AF，
∴△AFE≌△AFE′．
∴EF＝E′F＝DE′―DF＝BE―DF．
例3：
问题提出
（1）如图①，已知△ABC，请画出△ABC关于直线AC对称的三角形．
问题探究
（2）如图②，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，AE=4，AF=2，是否在边BC、CD上分别存在点G、H，使得四边形EFGH的周长最小？若存在，求出它周长的最小值；若不存在，请说明理由．
问题解决
（3）如图③，有一矩形板材ABCD，AB=3米，AD=6米，现想从此板材中裁出一个面积尽可能大的四边形EFGH部件，使∠EFG=90°，EF=FG=根号5米，∠EHG=45°，经研究，只有当点E、F、G分别在边AD、AB、BC上，且AF＜BF，并满足点H在矩形ABCD内部或边上时，才有可能裁出符合要求的部件，试问能否裁得符合要求的面积尽可能大的四边形EFGH部件？若能，求出裁得的四边形EFGH部件的面积；若不能，请说明理由．
解：（1）如图1，△ADC即为所求；
（2）存在，理由：作E关于CD的对称点E′，
作F关于BC的对称点F′，
连接E′F′，交BC于G，交CD于H，连接FG，EH，
则F′G=FG，E′H=EH，则此时四边形EFGH的周长最小，
由题意得：BF′=BF=AF=2，DE′=DE=2，∠A=90°，
∴AF′=6，AE′=8，
∴E′F′=10，EF=2倍根号5，
∴四边形EFGH的周长的最小值=EF FG GH HE=EF E′F′=2倍根号5 10，
∴在边BC、CD上分别存在点G、H，
使得四边形EFGH的周长最小，
最小值为2倍根号5 10；
（3）能裁得，
理由：∵EF=FG=根号5，∠A=∠B=90°，∠1 ∠AFE=∠2 AFE=90°，
∴∠1=∠2，
在△AEF与△BGF中，∠1=∠2，∠A=∠B，EF=FG
∴△AEF≌△BGF，
∴AF=BG，AE=BF，设AF=x，则AE=BF=3﹣x，
∴x2 （3﹣x）2=（根号5）2，解得：x=1，x=2（不合题意，舍去），
∴AF=BG=1，BF=AE=2，
∴DE=4，CG=5，
连接EG，
作△EFG关于EG的对称△EOG，
则四边形EFGO是正方形，∠EOG=90°，
以O为圆心，以EG为半径作⊙O，
则∠EHG=45°的点在⊙O上，
连接FO，并延长交⊙O于H′，则H′在EG的垂直平分线上，
连接EH′GH′，则∠EH′G=45°，
此时，四边形EFGH′是要想裁得符合要求的面积最大的，
∴C在线段EG的垂直平分线设，
∴点F，O，H′，C在一条直线上，
∵EG=根号10，
∴OF=EG=根号10，
∵CF=2倍根号10，
∴OC=根号10，
∵OH′=OE=FG=根号5，
∴OH′＜OC，
∴点H′在矩形ABCD的内部，
∴可以在矩形ABCD中，裁得符合条件的面积最大的四边形EFGH′部件，
这个部件的面积=二分之一倍EG•FH′=二分之一×根号10×（根号10 根号5）=5 二分之五倍的根号2，
∴当所裁得的四边形部件为四边形EFGH′时，裁得了符合条件的最大部件，这个部件的面积为（5 二分之五倍的根号2）m2．
