一、基本概念：
1．二次函数的概念：一般地，形如y=ax² bx c（a、b、c是常数且，a≠0）的函数，叫做二次函数。
注意：（1）函数在等号的右边是一个含x的二次整式.
（2）a、b、c为常数，且a≠0，b、c可以为零。当b、c=0时，y=ax²,；当b=0时，y=ax², c；当c=0时，y=ax², bx.
二、基本形式与性质
a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
三、二次函数图象的平移
1. 平移步骤：
⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式y=a(x-h)² k，确定其顶点坐标(h,k)；
⑵ 保持抛物线y=ax²的形状不变，将其顶点平移到(h,k)处，具体平移方法如下：
2. 平移规律
在原有函数的基础上概括成八个字“左加右减，上加下减”
四、二次函数解析式的表示方法
1. 一般式：y=ax² bx c（a，b，c为常数，a≠0）；
2. 顶点式： y=a(x-h)² k（a，h，k为常数，a≠0）；
3. 两根式：y=a(x-x1）（x-x2）（a≠0，x1，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）.
注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即b2-4ac≥0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.
五、二次函数y=ax² bx c图象的画法
五点绘图法：利用配方法将二次函数y=ax2 bx c化为顶点式 y=a(x-h)2 k，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y轴的交点(0,c)、以及(0,c)关于对称轴对称的点(2h,c)、与轴的交点(x1,0)，(x2,0)（若与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.
画草图时一定要抓住以下几个要点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.
六、二次函数的图象与系数a、b、c之间的关系(中考常考考点）
1. 二次项系数a
二次函数y=ax² bx c中，a作为二次项系数，显然a≠0．
⑴ 当a>0时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大；
⑵ 当a<0时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大．
a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，｜a｜的大小决定开口的大小．
2. 一次项系数b
在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴．
⑴ 在a>0的前提下，
当b>0时，-b/2a<0，即抛物线的对称轴在y轴左侧；
当b=0时，-b/2a=0，即抛物线的对称轴就是y轴；
当b<0时，-b/2a>0，即抛物线对称轴在y轴的右侧．
⑵ 在a<0的前提下，结论刚好与上述相反，即
当b>0时，-b/2a<0，即抛物线的对称轴在y轴右侧；
当b=0时，-b/2a=0，抛物线的对称轴就是y轴；
当b<0时，-b/2a>0，即抛物线对称轴在y轴的左侧．
在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置．
a、b的符号的判定：对称轴在轴左边则ab>0，在y轴的右侧则ab<0，我们常说的“左同右异”就是这么来的.
3. 常数项c
⑴ 当c>0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正；
⑵ 当c=0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0；
⑶ 当c<0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负．
c决定了抛物线与y轴交点的位置．
只要a、b、c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．
七、二次函数图象的对称
二次函数图象的对称一般有四种情况，可以用一般式或顶点式表达
1. 关于轴对称
y=ax² bx c关于x轴对称后，得到的解析式是y=-ax²-bx-c；
y=a(x-h)² k关于x轴对称后，得到的解析式是y=-a(x-h)² k；
2. 关于y轴对称
y=ax² bx c关于y轴对称后，得到的解析式是ax²-bx c；
y=a(x-h)² k关于轴对称后，得到的解析式是y=a(x h)² k；
3. 关于原点对称
y=ax² bx c关于原点对称后，得到的解析式是y=-ax² bx-c；
y=a(x-h)² k关于原点对称后，得到的解析式是y=-a(x h)²-k；
4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）
y=ax² bx c关于顶点对称后，得到的解析式是；
a(x h)² k关于顶点对称后，得到的解析式是y=-a(x-h)² k．
八、二次函数与一元二次方程：
1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x轴交点情况）：
一元二次方程ax² bx c=0是二次函数 y=ax² bx c当函数值y=0时的特殊情况.
图象与x轴的交点个数：
① Δ=b²-4ac时，图象与x轴交于两点A(x1,0)，B(x2,0)(x1≠x2），其中的x1、x2是一元二次方程ax² bx c=0（a≠0）的两根．这两点间的距离.
② 当Δ=0时，图象与x轴只有一个交点；
③ 当Δ<0时，图象与x轴没有交点.
当a>0时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有y>0；
当a<0时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有y<0．
2. 抛物线y=ax² bx c的图象与y轴一定相交，交点坐标为(0,c)；
3. 二次函数常用解题方法总结：
⑴ 求二次函数的图象与轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；
⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；
⑶ 根据图象的位置判断二次函数y=ax² bx c中a，b，c的符号，或由二次函数中a，b，c的符号判断图象的位置，要学会数形结合；
⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.
抛物线与轴有两个交点
二次三项式的值可正、可零、可负
一元二次方程有两个不相等实根
抛物线与轴只有一个交点
二次三项式的值为非负
一元二次方程有两个相等的实数根
抛物线与轴无交点
二次三项式的值恒为正
一元二次方程无实数根.
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