数与代数最重要的内容(数与代数之序数)(1)

一.概念描述

现代数学:序数是在数数的过程中产生的。所谓数数,就是在被数事物的集合与自然数集合(标准集合)之间建立一一对应的关系。如果被数事物是有限集合,就是与自然数集的前面片段(子集合)建立一一对应关系。如果被数事物是无限集合,就是与全体自然数建立一一对应关系。被数事物的位置顺序若为:第0个,第1个,第2个,第3个,…,第n个,则0,1,2,3,…,n就称为序数。数学的发展要求将自然数的一些基本性质抽象为公理化体系。1889年,佩亚诺首先给出公理形式的自然数定义。佩亚诺以后,又有人改述自然数的公理定义,如雅各布森和格列尔特都曾给出过不同的公理形式的自然数定义。

小学数学:在小学数学教材中没有给出序数概念的明确定义。它只是要求学生在具体情境中理解自然数可以表示“几个”和“第几个”两种含义,同时体会“一一对应”的思想。比如“小明住在这栋住宅楼的3层”,这里的3就是序数,表示“第3”的意思。所以说,当自然数被用来表示事物的排列次序时,这样的数就叫作序数。

二.概念解读

自然数有两种属性,一是基数属性,一是序数属性。自然数的基数理论回答了一个集合含“多少个元素”的问题,自然数的序数理论反映了事物记数的顺序性,回答了“第几个”的问题。二者彼此相通,共同反映了离散事物的记数特征。

当自然数表示某个有序集合中每个元素所占的位置,就是记顺序的数:第一、第二、第三……事实上,人们在实践中除了需要弄清事物的多少外,还需要在完全相同的一组事物中建立次序。例如,必须按照某种观点,譬如猎人的身高、年龄和勇敢程度来确定在打猎时,谁应该冲在最前面,谁是第二个、第三个等。对于一个集合,我们依次地数数:1个、2个……到第n个数完了,我们就称这个集合的序数是n。由此可见,序数可以用作一个全的有序排列中元素位置的标记,依次将序数写出来,也是1,2,3,…,n。

20世纪最伟大的数学家之一冯·诺依曼,用集合的语言,特别是集合组成的集合和存在空集这两个约定,简约、清晰、准确地构建了自然数体系。具体步骤如下:

第一个序数是空集Ø (表示0)

第二个序数是以空集为元素的集合{Ø},即{0} (表示1)

第三个序数是以空集和{ }为元素的集合{Ø,{Ø}},即{0,1} (表示2)

第四个序数是以前三个序数集合为元素的集合{Ø,{Ø},{Ø,{Ø}}},即{0,1,2}(表示3)

......

第n个序教是以前面n-1个序数集合为元素的集合{0,1,2,...,n-1} (表示n)

这种依次构造地产生的自然数,称为序数。2000多年前,老子《道德经》中说“道生一,一生二,二生三,三生万物”,在思想上和序数的构造不谋而合。“道生一”相当于从无序开始有序,即由零到一产生顺序;“一”再添上“一”就得到自然数“二”;“二”再添上“一”就得到自然数“三”;等等。

这样,我们就可以完全用集合的语言以两种方式描述自然数:基数和序数。二者密切相关,构成自然数的两个主要特征。

三.教学建议

(1)初步体会自然数作为序数的含义

在学习过程中,基数与序数几乎是同时发生的。因此,应该让学生同时形成基数与序数的概念。比如刘鹏老师在教学“10以内的数整理复习”一课时,就创设了这样的问题情境(如下图):

数与代数最重要的内容(数与代数之序数)(2)

①有( )辆红车(指深色车),有( )辆黄车(指浅色车)。

②两辆黄车之间有( )辆红车。

③从左数,第3辆是( )车。

刘老师请学生分别说一说是怎样想的,对第二问还可以请学生圈一圈是哪几辆红车。这个问题情境旨在让学生在解决具体问题的过程中,理解当自然数用来表示物体的数量时,它就是基数,如前两问;当自然数用来表示物体的次序时,它就是序数,如第三问。

(2)提升序数的教学价值

自然数的意义不仅包括“数量数”,即基数方面;还包括“计数的数”,即序数方面。正如弗赖登塔尔所指出的:对于数学自身的发展而言,“计数的数”(序数)意义更大,“无论是从历史发生的还是从系统的角度看,数的序列都是数学发展的基石”。在小学的低、中阶段,自然数的这两方面(基数与序数)的教学价值非常大,但在教学实践中教师往往忽视了“序数”教学的价值,仅仅停留在“第几”的层面上,缺少对其数学本身意义的挖掘。例如,“计数的数”的理解是“探索规律”教学的基石,可以说,没有“计数的数”就无法探究和表示各种规律。

(3)加强基数与序数概念的对比教学

正因为基数与序数两者间的密切联系,教师更应该在教学中有意识地让学生在正确理解其含义的基础上,加强对比练习。比如,教师可以在课堂上进行如下练习:

数与代数最重要的内容(数与代数之序数)(3)

①这一排熊猫共有( )只。

②请在第8只熊猫下画“★”。

然后,教师可以提问“这里的两个8表示的意思相同吗?”,使学生进一步理解:第一问中的8表示的是一共有8只熊猫,是这排熊猫的总只数;而第二问中的8表示的是这排熊猫中的第8只,只是指第8只那一只熊猫。

四.推荐阅读

(1)《小学数学研究》(张奠宙等,高等教育出版社,2009)

该书第二章主要从自然数概念的产生、意义及特征等角度对自然数进行了论述。

(2)《小学数学课堂的有效教学》(刘加霞,北京师范大学出版社,2008)

该书从自然数概念的本质把握、教学方式及学具使用等多角度对自然数教学进行了较翔实的介绍,对广大教学低年级的教师有一定的指导意义。

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