三角形阴影部分面积解题技巧（小学生用砍大山）

↑最近刷小■书看到网友们热议一道小学几何题——

如图所示，ABCD是一个正方形，边长为2厘米，F、E分别是BC、CD边上的中点，连接BE、AF、DF，得到一块阴影三角形，求阴影部分面积.

⑨老师发现较多被提到的解法有：“相似三角”、“建坐标系”、“定积分”、“勾股定理”等等……

以上这些都是中学及以上阶段才会学到的方法[1]，可见大多数网友并不知道（或是遗忘了）小学生是如何解这道题的[2].

所以热衷科普的⑨老师打算借此机会给大家分享一下用“小学生专用份数法”来解这道几何题——

这道几何题，熟练使用比与比例或是会设份数的小学生是完全可以做出来的，用的方法一点也不高大上，⑨老师把这样的方法叫作——“砍大山”[3].

砍大山也就是等高模型，左山右山一样高，根据S△=底×高÷2，高相同，于是底的份数决定面积份数

【思路】

1. 将AF与BE的交点命名为G，并将DF与BE的交点命名为H，我们需要求面积的阴影三角形名为△FGH；
2. 该三角形的三条边均为斜边[4]，且底与对应高未知，所以不能直接套用公式“S△=底×高÷2”来算[5]；
3. 于是考虑包含△FGH在内的大三角形△HFB，有以下关系[6]：S△FGH＝S△HFB－S△GFB
4. 连接BD、CH，在燕尾模型[7]BCD-H中解出三角形HFB的面积；
5. 连接AE、EF，在风筝模型[8]ABFE-AF-BE中解出三角形GFB的面积；
6. 将第4条中△HFB的面积与第5条中△GFB的面积代入第3条中的等式“S△FGH＝S△HFB－S△GFB”，即可求出阴影部分△FGH的面积.

【步骤】

解题步骤按照图中圆圈序号①~⑦

【详解】

1. 如上左图所示，将AF与BE的交点命名为G，并将DF与BE的交点命名为H，我们需要求面积的阴影三角形名为△FGH，考虑包含△FGH在内的大三角形△HFB，有以下关系：S△FGH＝S△HFB－S△GFB
2. 如上中图所示，连接BD、CH，紫色线条加粗的三角形BCD与其内部交于H点的三条线段HB、HC、HD构成燕尾模型，并设S1、S2、S3分别是S△HBD、S△HBC、S△HCD，于是有2个比例：①S1∶S2=DE∶EC=1cm∶1cm=1∶1②S1∶S3=BF∶FC=1cm∶1cm=1∶1综合以上两个比例得：S1∶S2∶S3＝1∶1∶1
3. 我们需要在燕尾模型BCD-H中求三角形HFB的面积，而△HFB包含于S2，所以不妨先求S2——三角形BCD的面积是正方形ABCD的一半[9]，且S2的面积是三角形BCD的三分之一[10]于是有以下算式：S2=S△BCD×1/(1 1 1)=(2cm×2cm÷2)×(1/3)=2/3cm²
4. 在等高模型HCB-HF中[11]，有三连比：S△HCF∶S△HFB∶S2=S△HCF∶S△HFB∶S△HCB=CF∶FB∶CB=1cm∶1cm∶2cm=1∶1∶2
5. 所以△HFB的面积是S2的一半：S△HFB=S2×(1/2)=2/3cm²×(1/2)=1/3cm²
6. 如上右图所示，连接AE、EF，紫色线条加粗的四边形ABFE与其内部交于G点的两条对角线AF、BE构成风筝模型，另设三角形ABE、三角形BEF的面积分别为S4、S5，根据风筝模型ABFE-AF-BE，有比例：S4∶S5=AG∶GF
7. S4对应三角形ABE的底边AB长2cm，底边AB对应的高是2cm，所以[12]：S4=2cm×2cm÷2=2cm²
8. S5对应三角形BEF的底边BF长1cm，底边BF对应的高是EC长1cm，所以：S5=1cm×1cm÷2=0.5cm²
9. 将第7条与第8条的数据代入第6条中的比例有：AG∶GF=S4∶S5=2cm²∶0.5cm²=4∶1
10. 我们需要在风筝模型ABFE-AF-BE中求三角形GFB的面积，考虑包含△GFB在内的等高模型BAF-BG，有三连比：S△BGA∶S△GFB∶S△ABF=AG∶GF∶AF
11. 再将第9条中的“AG∶GF=4∶1”代入第10条中的三连比：S△BGA∶S△GFB∶S△ABF=AG∶GF∶AF=4∶1∶(4 1)=4∶1∶5
12. △GFB的面积是△ABF的五分之一，所以有以下算式[13]：S△GFB=S△ABF×(1/5)=(AB×BF÷2)×(1/5)=(2cm×1cm÷2)×(1/5)=1/5cm²
13. 最后，把第5条与第12条中的数据代入第1条中的关系式，求得阴影部分的面积即：S△FGH=S△HFB－S△GFB=1/3cm²-1/5cm²=2/15cm²

答：阴影部分面积为2/15平方厘米.

【总结】

1. 如大家所见，几何题的思路其实并不困难，难的是其繁琐的过程，老师课上讲一道有难度的几何题往往会花半小时以上，其中大部分时间都在“画图并用字母、符号、算式描述各种点、线、角、面之间的关系”上，又或是把时间花在“复述并运用已有的定理和模型”上，很多同学以为自己已经懂了，但是让他自己在白纸上重写一遍完整过程，或者让他来讲几何题，他便会发现自己疏忽了很多细节；
2. 小学阶段的所有数学问题都是有其“最小颗粒”的[14]，也就是说题目中的数量可以细分到份份相等，然后根据“已知份数”以及“已知与未知的关系”去求未知份数；
3. 自五年级学了分数量率、比与比例相关的计算之后，我们求三角形的面积往往都不再是套用三角形面积公式，而是需要运用“砍大山”（等高模型）进行份数化运算，以“砍大山”为源头，可以演化出常见的五大模型：鸟头、金沙、钻风、蝴蝶、燕尾[15]；
4. 在⑨老师看来，之所以这么多人为小学生抱不平，认为这类几何题简直就是“求小学生心理阴影面积”——甚至孩子明明上过奥数课，课上老师也介绍了各种三角形模型，很多人也还是认为“小学生只是在套用更高级的公式而已，学了没有任何意义”——那仅仅是因为大家都没有真正搞懂这类几何题的“考点”[16]；
5. 99%的小学生都没有深入理解到这类几何题其实是“图形化的比例应用题”，和大家校内经常做的工程、浓度、经济等分百小应用题一样，其实都是可以“份数化”的，一旦份数化，它的难度就死死限定在“小学生的程度”[17]，所以⑨老师认为并不超纲；
6. 这类几何题不但不超纲，更是对小学生“数形结合”思维的有益拓展；
7. 最后附上⑨老师的课堂板书与笔记（五大模型的体系、结论、证明）——

↓PS：准确地讲，钻石模型只需要一条对角线，另一条“对角线”可以是折线.

【参考】

1. ^因为参与讨论的人几乎都是中学及以上学历，只记得最近学会的解题方法其实能够理解.
2. ^或许他们也不想知道，只是单纯认为题目太虐小孩了，小孩心理阴影面积∞.
3. ^“砍大山”是⑨老师对等高模型的戏称，等高模型是三角形五大模型的源头，它的原理其实非常简单：任意三角形ABC过顶点A连接底边BC上的任意点D，三角形ABC被AD分割为左右两个小三角形，两个三角形等高——如果两个三角形面积不同，那一定是底不同引起的，所以“左三角”与“右三角”的面积之比等于底边之比BD∶DC.
4. ^这里的斜边是指不在水平或垂直方向上的边.
5. ^小学阶段求三角形面积如果不能直接套公式来算，要么用公式计算别图形的面积并用诸如“阴影等于整体减空白”的容斥原理间接求面积，要么用三角形等高模型及其演化出的各种比例模型（五大模型）通过份数来算.
6. ^传说中的“阴影等于整体减空白”大法.
7. ^燕尾模型是指：一个任意三角形ABC的内部有任意一点O，让O分别连接三个顶点A、B、C，可以将△ABC内部划分出三块小三角形OAB、OAC、OBC，这三个三角形中的任意两个的面积比等于这两个三角形沿分界线方向“投影”在底边的长度之比.
8. ^风筝模型是指：一个任意凸四边形ABCD，连接两条对角线，对角线AC、BD交于O点，有S△ABD∶S△BCD=AO∶OC，也有S△ABC∶S△ACD=BO∶OD，也就是说，一个凸四边形被某条对角线分出的两个三角形的面积之比等于另一条对角线穿过各自内部的长度之比，这个结论又被形象地称为“肉比肉等于签比签”. （PS：当“凸四边形”变为“凹四边形”时，风筝模型变为燕尾模型）
9. ^正方形沿对角线折叠可重合为一个等腰直角三角形，展开后的两个三角形各占正方形的一半面积.
10. ^三角形BCD被三等分为S1、S2、S3，所以S2的面积是三角形BCD平均分成的3份中的1份.
11. ^等高模型的“砍大山”解释：以H为山顶，以CB为山脚下，从山顶沿HF一刀劈下，将大山分为左山和右山，左山、右山、大山一样高，所以左山、右山、大山的面积比等于左底比右底比大底.
12. ^S4（S△ABE）其实是正方形ABCD的一半模型，可通过在CD边上滑动E点进行平行线间等积变形，最终将面积变为S△ABC（对角线一半）.
13. ^三角形ABF是一个直角三角形，它的两条直角边AB、BF分别长2cm、1cm，所以它的面积很好算：2cm×1cm÷2=1cm².
14. ^跟量子力学很像，是离散的一份一份的.
15. ^这里总结的五大模型（鸟头模型、金字塔与沙漏模型、钻石与风筝模型、梯形蝴蝶模型、三燕尾模型）为⑨老师原创，与主流公认的“五大模型”有出入.
16. ^一道几何题一定要用中学的知识点才能做出来，除了超前学习中学知识别无他法，那就不应该出现在小学，那才是真正的超纲.
17. ^根本不需要用到中学的高级解题工具比如“相似三角形”、“建坐标系”、“定积分”等等.

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