立方最密堆积

在立方最密堆积中,由于可以通过面心平移——将顶角原子平移到面心或者将面心原子平移到顶角,使得原子周围环境完全相同,因此其晶胞被称为面心立方晶胞。

化学晶胞的四种堆积模型(化学融合创新实验室)(1)

虚线框起来部分也是一个晶胞,可以看作由任意实线晶胞沿45°对角线平移而来。

为了便于理解,我们将晶胞内部各个原子的位置以坐标来表示,即原子的坐标参数。在面心立方晶胞中,Cu的坐标参数为:

顶点:

化学晶胞的四种堆积模型(化学融合创新实验室)(2)

面心:

化学晶胞的四种堆积模型(化学融合创新实验室)(3)

化学晶胞的四种堆积模型(化学融合创新实验室)(4)

化学晶胞的四种堆积模型(化学融合创新实验室)(5)

在晶胞中,我们可以发现总共有14个原子,但是坐标参数却只有4个,其原因在于顶点的原子由八个晶胞共享,每个晶胞只有1/8个原子。

化学晶胞的四种堆积模型(化学融合创新实验室)(6)

面心的原子由两个晶胞共享,每个晶胞只有1/2个原子。

化学晶胞的四种堆积模型(化学融合创新实验室)(7)

最终,由于每个晶胞有8个顶点和6个面,因此每个晶胞的原子数为

化学晶胞的四种堆积模型(化学融合创新实验室)(8)

化学晶胞的四种堆积模型(化学融合创新实验室)(9)

虽然是最密堆积,但从简单的几何学上我们可以看出,原子在紧靠之后,仍然存在空隙,我们可以通过计算来确定面心立方晶胞的空间利用率。

化学晶胞的四种堆积模型(化学融合创新实验室)(10)

设球的半径为R,晶胞边长为a,由于最密堆积,面对角线长为4R,同时又会等于√2a,所以

化学晶胞的四种堆积模型(化学融合创新实验室)(11)

晶胞体积

化学晶胞的四种堆积模型(化学融合创新实验室)(12)

晶胞中四个球的体积

化学晶胞的四种堆积模型(化学融合创新实验室)(13)

化学晶胞的四种堆积模型(化学融合创新实验室)(14)

可以看到,最密堆积情况下,空间利用率只有74%,其他非最密堆积的空间利用率显然并不会比这更高。

同时,如果我们能够知道原子的半径和摩尔质量,那么根据以上数据也可以算出晶胞的密度。比如,Cu的原子半径是127.8 pm,摩尔质量是63.55 g/mol,

那么晶胞密度

化学晶胞的四种堆积模型(化学融合创新实验室)(15)

通过查询可以得知Cu在20℃时的密度为8.96 g/cm3,相对误差只有3‰不到,精确度还是很高的。

当然,各位同学也可以通过查询其他金属原子的半径,来预估在面心立方晶胞中的金属密度。


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