主要内容:
本文主要介绍函数y=2x^3 2x^2 x的定义域、单调性、值域、凸凹性及极限等性质,并举例介绍函数导数的应用,同时通过函数导数知识,求解函数的单调和凸凹区间。
根据函数特征,函数y=2x^3 2x^2 x右边表达式为自变量的多项式,即可取任意实数,故函数的定义域为:(-∞, ∞)。
用导数的知识来判断函数的单调性,并求解函数的单调区间。
∵y=2x^3 2x^2 x,
∴dy/dx=6x^2 4x 1,
对于g(x)=6x^2 4x 1,有:
判别式△=4^2-4*6*1<0,即dy/dx>0.
所以函数在定义域上为增函数。
函数导数应用:
例如求以下点的切线方程:
A(0,0),B(-1/3,-5/27),C(1,5),D(-1,-1)处的切线。
对于点A(0,0)处,有dy/dx=1,则由直线的点斜式得切线方程为:y-0=1(x-0),即y=x。
对于点B(-1/3,-5/27)处,dy/dx=1/3,则由直线的点斜式得切线方程为:
y 5/27=1/3(x 1/3)。
对于点C(1,5)处,有dy/dx=11,则由直线的点斜式得切线方程为:y-5=11(x-1)。
对于点 D(-1,-1)处,有dy/dx=3,同理由直线的点斜式得切线方程为:y 1=3(x 1)。
∵dy/dx=6x^2 4x 1
∴d^2y/dx^2=4(3x 1),令d^2y/dx^2=0,则:
x=-1/3,且有:
(1)当x∈(-∞,-1/3)时,d^2y/dx^2>0,
则此时函数为凹函数。
(2)当x∈[-1/3, ∞)时,d^2y/dx^2<0,
则此时函数为凸函数。
lim(x→ ∞) 2x^3 2x^2 x=-∞;
lim(x→0) 2x^3 2x^2 x=1;
lim(x→-∞) 2x^3 2x^2 x= ∞;
根据函数的极限可知,函数的值域为(-∞, ∞)。
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