初中几何中,三角形内接四边形是经常考到的题型,一般是内接平行四边形、矩形、正方形等,常规思路是把要求的边长x设出来,利用相似三角形,构造关于x的方程,从而求出x的值。

例题:

如图,△ABC内接正方形DEFG,△AGF、△FEC、△BDG的面积分别是1、1、3,则正方形DEFG的边长为

(视频讲解在文末)

三角形内接正方形(初中数学三角形内接正方形的常规解法和秒杀方法讲解)(1)

分析:按照常规思路,把正方形边长设为x,利用△AGF∽△ABC,高之比等于边长之比,构建关于x的方程解出x的值。

所以,

GF=x

BD=6/x

DE=x

EC=2/x

现在已经得到GF和BC的长,还需要另外一组对应边或者对应高之比。

题目中,△AGF的面积=△EFC的面积,GF=EF,可以得到△AGF中GF边上的高等于EC=2/x 。

三角形内接正方形(初中数学三角形内接正方形的常规解法和秒杀方法讲解)(2)

那就可以利用△AGF∽△ABC,高之比等于GF与BC之比,构建关于x的方程求解。

三角形内接正方形(初中数学三角形内接正方形的常规解法和秒杀方法讲解)(3)

现在讲解一下秒杀方法,对于三角形内接平行四边形问题,平行线分割成的三部分面积有一个等量关系。

三角形内接正方形(初中数学三角形内接正方形的常规解法和秒杀方法讲解)(4)

感兴趣的同学思考下如何证明!

(提示:相似三角形面积之比等于相似比的平方)

三角形内接正方形(初中数学三角形内接正方形的常规解法和秒杀方法讲解)(5)

这个题就可以采用上面介绍的方法秒杀。

过点G做GH平行AC,交BC边于点H

易证△GDH≌△FEC,

则△BGH的面积为1 3=4

平行四边形GHCF的面积=2×√(1×4)=4

正方形GDEF的面积=平行四边形GHCF的面积=4

所以正方形边长为2

视频讲解:初中数学一道三角形内接正方形的常规解法和秒杀方法讲解,