今天我们来讨论函数的基本性质2--函数的奇偶性,下面我们就来聊聊关于函数的奇偶性和规律?接下来我们就一起去了解一下吧!

函数的奇偶性和规律(函数的基本性质2)

函数的奇偶性和规律

今天我们来讨论函数的基本性质2--函数的奇偶性。

废话少说,先来看它们的定义:

奇函数定义

奇函数:设函数y=f (x)的定义域为D,如果对D内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x),则这个函数叫奇函数。

看完定义,有些同学还是很懵逼。没关系,举个例子你就懂了。函数f(x)=x就是一个奇函数。你套一下就知道:

f(-x)=-x=-f(x),满足f(-x)=-f(x)

所以,f(x)=x就是一个奇函数。

再来看偶函数:

偶函数定义

偶函数:设函数y=f (x)的定义域为D,如果对D内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),则这个函数叫做偶函数.

同样的,举个例子就明白了。f(x)=x2就是一个偶函数,同理,你套一下就知道了:

f(-x)=(-x)2=x2=f(x),它刚好满足f(-x)=f(x)的形式,所以它是偶函数。

根据上面欧阳老师所举的2个例子,细心的同学应该发现了:关于x的幂函数f(x)=xn,只要n是奇数,它就是奇函数;比如n=3,f(x)=x3,是奇函数。只要n是偶数,它就是偶函数;比如n=4,f(x)=x4,是偶函数。恭喜你,居然额外发现了幂函数的秘密!

关于幂函数,下节课老师会讲到。下面欧阳老师要提几个关于函数奇偶性的问题。

问题1:奇函数、偶函数的定义中有“任意”二字,说明函数的奇偶性是怎样的一个性质?与单调性有何区别?

强调定义中“任意”二字,说明函数的奇偶性在定义域上的一个整体性质,它不同于函数的单调性 .

问题2:-x与x在几何上有何关系?具有奇偶性的函数的定义域有何特征?

奇函数与偶函数的定义域的特征是关于原点对称.

2. 奇函数与偶函数图象的对称性:

如果一个函数是奇函数,则这个函数的图象以坐标原点为对称中心的中心对称图形. 反之,如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形,则这个函数是奇函数.

如果一个函数是偶函数,则它的图形是以y轴为对称轴的轴对称图形;反之,如果一个函数的图象关于y轴对称,则这个函数是偶函数.

注意!函数奇偶性的这2个特点非常重要,且是一个互为逆反命题,且都成立。

好,下面来做一些练习:

练习题

自己先做,后面有答案:

练习1的答案

判断函数奇偶性的步骤:

第一步先判断函数的定义域是否关于原点对称;第二步判断f (-x)=f (x)还是判断

f (-x)=-f (x).

对于一个函数来说,它的奇偶性有四种可能:

是奇函数但不是偶函数;

是偶函数但不是奇函数;

既是奇函数又是偶函数;

既不是奇函数也不是偶函数.

再来一道难一点的题练练手,这道题会的话,说明对于函数的奇偶性你已经掌握地非常好了。题目和答案都在图片上了,如果不会做的同学,想知道解题过程,可以私信我。

最后再来总结一下今天所学的内容:

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