作者 | 大吴
来源 | 大小吴的数学课堂
1 柏拉图多面体
正多面体，是指多面体的各个面都是全等的正多边形，并且各个多面角都是全等的多面角。正多面体一共只有5个，最早由古希腊哲学家柏拉图发现，所以也称柏拉图多面体。
柏拉图认为世界由四古典元素组成，其形状如正多面体中的其中四个。
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火的热让人感到尖锐和刺痛，好像小小的正四面体。
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空气是用正八面体制成的，可以粗略感受到，它极细小的结合体十分顺滑。
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当水放到人的手上，它会自然流出，那它就应该是由很多小球所组成，好像正二十面体。
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土与其他的元素相异，因为它可以被堆栈，正如正六面体（正立方体）。
剩下没有用的正多面体——正十二面体，柏拉图以不清晰的语调写：“神使用正十二面体以整理整个天空旳星座。”柏拉图的学生亚里士多德添加了第五个元素——以太，并认为天空是用此组成，但他没有将以太和正十二面体联系。
2 欧拉公式我们知道，空间中的多面体由顶点、面、棱组成，将它们的数量简记为、、，现在来研究一下三者之间的关系，列个表：
| 类型 | 顶点数 | 面数 | 棱数 | 计算 |
|---|---|---|---|---|
| 正四面体 | 6 | |||
| 正六面体 | 8 | 6 | 12 | |
| 正八面体 | 6 | 8 | 12 | |
| 正十二面体 | 20 | 12 | 30 | |
| 正二十面体 | 12 | 20 | 30 |
我们发现，的值总是2，这是巧合吗？还是说这是正多面体满足的特有规律？
来看一个不规则多面体：
同样地，我们列表：
| 类型 | 顶点数 | 面数 | 棱数 | 计算 |
|---|---|---|---|---|
| 不规则多面体 | 16 | 10 | 24 |
仍有，这似乎表明任意多面体的顶点数、面数、棱数都满足这个数量关系。
事实上，数学家欧拉证明了对于任意简单多面体，都有
这个恒等式成立，它被称之为多面体欧拉公式。
这里需要说明一下，所谓简单多面体指的是同胚于球面的多面体（同胚是一个拓扑学概念，你可以简单理解为如果在一个多面体内部吹气，它能膨胀变为一个球，那么可以认为它与球同胚）。
欧拉公式的完整形式是
这里的称为欧拉示性数，它是一个拓扑不变量，与空间体的性质有关，当为简单多面体时，有
3 证明现在我们来研究一下为什么对于简单多面体都成立。
我们以正六面体（即正方体）为例，假设在正六面体中，有
在这里是一个未知数，我们的目标是证明是常数.
可以通过一些简单的变换证明多面体欧拉公式，具体操作如下：
3.1 去面
我们将正六面体进行“压缩”，使其变成上底面为小正方形的几何体。
注意到在这个过程中，并没有改变原来的顶点数、棱数、面数，因此仍有
这时再将其“拍扁”，使其成为一个二维图形。
在这个由三维向二维转化的过程中，最终的图形相比原来的几何体其面数是少了的（因为上下底面合并为了同一个面），记二维图形的面数为,则有
又因为顶点数、棱数不变，因此有
3.2 加棱
在完成了“去面”的操作后，其二维图形的俯视图如下：
这时我们在图形中加一条棱，图形就变成了如下：
加了这条棱之后，可以发现最上面的区域被一分为二，因此对于整个图形来说，其面数会加一，但又由于其棱数加一，有
因此仍有
可见，“加棱”的操作并不会使的值发生变化。
我们继续加棱，将其变为如下图形：
这个图形的的值仍与原来的图形一致。
3.3 擦边
我们接着对这个图形进行处理，擦除其中一条边，会有什么结果？
还是和刚才的分析方法相类似，在擦除一条边之后，其面数就会减一，又由于“擦边”使得棱数也减一，因此有
仍有
可见，"擦边"也不会使的值发生变化。
通过一系列“擦边”，图形会变化成一个“飞镖”的样子：
3.4 去角
接下来就是最神奇的一步，擦去这个图形中的某个角，看看会发生什么！
擦去一个角，其面数会减一，其棱数会少二，其顶点数会少一，即
因此对于
来说，其值仍然是不发生变化的！
即有
“擦角”仍然不会使的值改变，那我们就放心大胆地擦吧！
最终，图形会变为一条线段。
我们在初中就知道，线段是一个一维图形，只有两个端点一条线，因此有
所以
因此
至此，我们就证明了是一个常数，其值为，证明完毕。
4 小结事实上，对于任意简单多面体，我们都可以通过上述去面、加棱、擦边、去角等一系列操作将其变为一条线段，这个过程从三维几何体到二维图形再到一维线段，我们把它称之为“降维”过程。所以，欧拉公式对于任意简单多面体都是成立的。
还记得开头提到的柏拉图多面体吗？我们同样可以用欧拉公式证明正多面体的个数是有限个的。即满足是正多面体的顶点数、面数、棱数（，，）只可能是
这五种情况。证明过程在这里就不赘述了，感兴趣的同学可以自行探究。
参考文献
[1]R·柯朗 H·罗宾. 什么是数学——对思想和方法的基本研究[M].复旦大学出版社，2012.
图书推荐
《什么是数学》
对思想和方法的基本研究
作者：R·柯朗，H·罗宾
译者：左平，张饴慈
出版：复旦大学出版社
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