⑨老师发现，解数学题的时候，自由随意或许不是一个好的做法。
例如——
如果⑨老师左边数一数、右边又数一数……大正方形找几个、小正方形又找几个……他很快就会忘记正在数的这个正方形是否之前已经数过，又或者数到最后对答案时发现漏数了几个正方形……
于是⑨老师看着这个4×4的网格，心想——
这个漂亮又对称的图形，给人以诸多自由的遐想：人们可以从它的东南西北的任意一侧去观察，数它包含的正方形时也可以是边长1、2、3、4中的任意一种，与那些长得“歪瓜裂枣”的图案不同，它是那么“正”，那么的“有秩序”……
慢着——
……“有秩序”？
……“有序”？
这个4×4的网格真的是“有序”的吗？
⑨老师稍微头脑风暴了一下——
假如在4×4的网格里随意填入1到16来表示数格子的先后顺序，那么填入前和填入后谁更“有序”？
填入前空空如也、非常整齐看似“有序”——
填入后乱七八糟、毫无头绪看似“无序”——
但是在数学上、物理学上，“无序“与”有序“的概念与人们日常的感官体验可能相反——
如上图所示，填入前是一张白纸，其上具备数格子顺序的各种可能性；
而填入后，数格子的顺序就被永远固定了下来，无论谁来数右边4×4网格的格子，大家的顺序都是一样的，而去数左边的4×4网格却是“千人千序”。
顺序多且杂乱的是无序（看上去白净的左图），顺序一致统一的则是有序（看上去混乱的右图）。
恰好与我们的第一印象相反。
“原来如此！拥有更多的自由，反而是更加‘无序’的。”
⑨老师如是总结道。
——头脑风暴结束！
⑨老师回到“数正方形”的正题上来——
尽管4×4的网格整齐又对称——但它的“无序”（太多不同的数法）却带来了计数上混乱，而人脑天生不适应混乱……除非能从混乱中找出些规律来。
那么，如何彻底数清楚4×4网格含有多少个正方形呢？
⑨老师现在想明白了，他笑了笑——
“我们应该于无序中寻找有序，finding order in disorder！”
所以⑨老师写下了如下图所示的解题过程——
“当图形数起来充满了自由的时候（这样数也可以、那样数也可以），我们反而需要人为地规定顺序，比如在以上解题步骤中，我们先是去数边长为1的正方形有4×4=16个，然后去数边长为2的正方形有3×3=9个，再去数边长为3的正方形有2×2=4个，最后去数边长为4的正方形，按照正方形从小到大的顺序来数，最终才不重不漏地数出一共有16 9 4 1=30个正方形！”
⑨老师一边解说一边露出了兴奋的表情——
“这真是一件有趣的事儿！
“本来题目没有规定我们一定要按照正方形从小到大的顺序来数，但我们却‘自己给自己强加了一道规则’并乐于遵守它！
“如果有人不想按照从小到大，那么他彻底贯彻从大到小的顺序也可以成功！
“但是他最好不要既想要从小到大，又想要从大到小！如果他什么都想要，那么他什么都得不到！”
⑨老师对自己的总结很满意，他心想，如果有人为自己制定了若干套规则，而这套规则与那套规则又相互冲突，想要同时遵守这些“秩序”、不就与混乱无异了吗？
其二、拆数游戏数完了正方形，⑨老师又玩起了“拆数游戏”——
以上问题⑨老师把它称为“和定无序拆三数”。
⑨老师提醒自己——
“做无序计数的题目时需要注意的是——仅排序不同带来的不同不算是真正的不同。比如对于三个正整数的和为10，3 3 4=10与3 4 3=10其实是同一组。”
可是——
明白了“我们应该数不带顺序的数组”之后，解题好像并没有就此变得顺畅！
原本以为“无序给了更多填空的自由”、而“自由即可以更容易填空”的⑨老师做了以下尝试——
3个正整数之和等于10，相当于做一个填空游戏——
（ ） （ ） （ ）=10
我们可以填1 3 6，
也可以填2 1 7，
还可以填8 1 1，
当然也可以填4 3 3，
填3 5 2=10也行，
填6 1 3也不错……
嗯？
6 1 3？
好像和最开始填的1 3 6是同一组？
“麻烦出现了！”⑨老师暂停了“自由地枚举”，他放下笔自语——
“随意地填空，会招致重复，而这种随时可能发生的重复，让我无法继续自由地枚举下去，如果我非要这样枚举下去，等待着我的就是计数游戏的失败！
“看来自由是需要付出代价的，做这道题自由随意地枚举，代价就是重复，基本上就与正确无缘了，这个代价挺沉重！”
既然做题是为了最终做正确而不是为了做得爽，⑨老师想，那么我宁可不那么自由！
来点约束吧！
来点规则吧！
比如填“（ ） （ ） （ ）=10”这个题目的空时，我就要给自己加上一条规则——
“必须把三个数按照从小到大的顺序填写！”
例如想要填“3、1、6”这个三个数的时候，就不能填“3 1 6”，也不能填“6 1 3”，也不能填“3 6 1”，也不能填“6 3 1”，也不能填“1 6 3”，而只能填“1 3 6”！
“添加了人为规定的填写顺序之后！一切都变得美好了起来！”
⑨老师重新拿起笔，顺势写下如下解题步骤——
写完题目，⑨老师心生感叹——
无序给了太多自由，我们不能那么自由，我们必须选择诸多自由中的一个，并遵守它，彻底执行它，才能完成正确的解题！
“但这并不是说，我们没有自由，”⑨老师觉得自己有必要澄清一点，“我们有选择的自由，但是选择之后，我们要承担起彻底执行这个选择的责任！”
“如果当时，”⑨老师继续说，“我没有选择从小到大枚举，我也可以通过选择从大到小枚举来获得成功！条条大路通罗马！但是你必须得行动起来、并坚持到最后！”
既然如此，不妨让时光倒流，回到最初做选择的时候——
⑨老师又想到一种做法，“如果再重来一次，我想要在诸多自由中添上这样一条规则——先把这道题当做有序的a b c=10来做，然后再把因顺序不同带来的重复给除掉！”
简单来说，就是先有序计数、再除序变无序。
具体的操作如下——
虽然图片里写得很详细了，⑨老师还是不厌其烦地讲解——
“我先把（ ） （ ） （ ）=10这种无序计数暂时先当做a b c=10这种有序计数来做，一般来说，有序枚举会比无序枚举简单，所以我这是采用迂回战术！
“我可以先假设a是1，然后去枚举和为9的b与c有多少组，值得注意的是，此时枚举出来的4、5与5、4算两种不同情况，因为一种是b=4，另一种是b=5；然后我又假设a是2，然后去枚举和为8的b与c有多少组；啊、我是不是发现一点规律了？
“更棒的方法其实是插板法，因为数有多少组(a,b,c)其实就与以下做法的每一种可能性一(yi)一(yi)对应——
“把10个苹果排成一行，在它们的9个间隔之间任选2个插上隔板，从而划分为从左到右的三堆，这三堆的苹果数形成的数组(a,b,c)的个数就是一个组合数C九二即9×8÷2=36个——”
第一步大功告成！
⑨老师打算乘胜追击！
“现在已经知道了a b c=10一共有36种情况。接下来第二步，需要对这36种情况进行分类讨论！”
其实，分类也是需要“人为规定”一个顺序的，比如⑨老师就规定自己按照“相同的数的个数从多到少”来分类——
第一类，三个数均相同，10÷3无法整除，显然第一类有0组；
第二类，三个数中有两个数相同，比如1 1 8=10，在第一步插板法中，一共会产生(1,1,8)(1,8,1)(8,1,1)共3个与1、1、8相关的、实际上只能视为一种情况的数组，所以我们应该对第二类的所有情况进行“三合一”处理，也就是“除序”，即“除以三”来消除三种不同顺序带来的重复——通过对重复的数字从小到大的枚举我们一共找到了(1,1,8)(2,2,6)(3,3,4)(4,4,2)四种属于第二类的数组，而它们每一个都有另外2个分身，所以在第一步的36种情况中，一共有4×3=12种属于第二类，那么第二类经过除序后实际就有——12÷3=4组无序数组；
最后是第三类、这也是情况最多的一类，那就是“三个数互不相同”，使用排除法，a b c=10的一共36种情况中有0 12=12种属于第一、二类，那么第三类就剩下了36-12=24种！
这24种都是形如“1 3 6=10”这样的情况，对于数组(1,3,6)，它还有五个“孪生兄弟”分别是：(1,6,3)(3,1,6)(3,6,1)(6,1,3)(6,3,1)，所以第三类经过除序后实际就有——24÷6=4组无序数组！
综合以上三类情况，一共就有0 4 4=8组符合（ ） （ ） （ ）=10的无序填法！
接下来，⑨老师回顾了一下“拆数游戏”的两种做法——
以上两种做法都各有特点，第一种有序枚举法看上去更省事更简单，第二种先插板再除序的方法看上去则更迂回却又在思维层面上更为透彻。
“如果要我来总结两种方法的共通之处的话，”⑨老师若有所思，“我想要强调的就是——限制自由！”
没错、限制自由！
在无序的自由中寻找有序的约束，这种约束，更像是一条帮助解题的线索，对于解题而言，这就仿佛漂浮在“自由之海”上无助的人看见了从轮船上抛下来的“约束之绳”，相信那个时候的那个人不会因为“自由”而心生喜悦，也不会因为“约束”而感到排斥。
接着——
“如果要我来对比两种方法的不同的话，”⑨老师若有所悟，“我想要强调的就是——更多的束缚往往让某事物后期更强大！就好像我封印的左眼解开封印时将会引发强大的效果一样！”
第二种方法看似复杂、无效率，仅仅是因为我们的计数对象还比较少而已！
如果我们把拆数游戏从“和为10拆3数”推广到“和为100拆4数”会怎样呢？
第一种方法还是那么好用吗？
“当得知一共有7153种拆法之后，”⑨老师冷笑，“我想没有人愿意再用第一种方法来枚举啦，只好编程让电脑来算。”
而一开始不被看好的方法二，却能够用差不多的步骤（先插板后除序）以及稍微多一点的分类讨论（四数相同、三数相同、两对两数相同、仅两数相同、四数互不相同以及这些分类之间的容斥）来解决。
“说了挺多废话，”⑨老师觉得偏离主题，打算最后说回到拆数游戏上来，“其实只需记住以下这条——
“无序计数需要人为定序、或是先有序再除序！”
其三、皮克定理数过了正方形，玩过了拆数游戏，⑨老师兴致仍不减半分，作为“奥术老师”的自我修养似乎让他更加自律起来，继续尝试去数“格点多边形包含的格子数”——
“想要玩这个定理游戏”，⑨老师嘀咕，“首先得知道定理本身！”
于是他上网搜索了一下——
以上内容引用自知乎词条，从中大概可以知道皮克定理与格点多边形的面积有关。但是⑨老师坚持认为皮克定理更应该用来“数格点多边形包含的格子数”而非直接算面积——因为单个格子的面积并不总等于1。
——皮克定理到底是做什么的呢？
“So easy！”⑨老师回答，“皮克定理就是说，一个顶点均在格点上的多边形内含的方格数恰好等于多边形内部格点数加上二分之一的多边形边上穿过的格点数再减一！”
举个例子——
你能用皮克定理算出下图中“爱心多边形”内含多少个方格吗？
第一步、数内点数，爱心多边形内部只有3个内点（如下图所示）；
第二步、数边点数，爱心多边形两条边相交之处（joint）即顶点，除了6个红色顶点外，不要忘了边上穿过的格点也要算，所以应该再多2个非顶点的边点，则一共有8个边点（如下图所示）；
第三步、内点数 边点数÷2-1=3 8÷2-1=6，所以爱心多边形内含6个方格；
第四步、通过直接数格子去检验，内含2个完整方格加4对半格一共确实是6个方格。
如果仅仅是讲到这里，⑨老师知道大部分家长和学生都不会满意——
其一、皮克定理怎么来的没有讲清楚；
其二、皮克定理公式怎样才能快速记住？
恰好这两点⑨老师都还有所研究，今天就和盘托出了！
先说其二，死记硬背也不是不行——
内点加边点除以二减一
内点加边点除以二减一
内点加边点除以二减一
多背、多用个几次应该就行了。
但的确非常笨拙，没有任何爽点。
“我想大家都应该背过圆周率吧？”⑨老师说，“如果想要记住小数点后面很多位，强行找点规律，编个顺口溜是不错的——”
按照上图这种想法，更胜一筹，⑨老师就给大家讲一个听完就能记住并且还有那么点道理的小故事——
哈哈！
听完这个脑洞故事，⑨老师敢保证没有一个人记不住这个式子！
长期记忆的问题也就解决了！
相信大部分家长、同学到此就会满意的！
但是肯定仍然有一部分家长、同学会比较较真——
所以让⑨老师再讲下其一、皮克定理怎么来的！
“是的，你没听错！有我在，小学生也能搞懂皮克定理！”
⑨老师自信地拍拍胸脯，继续讲——
“还记得我之前说过一句英文吗？Finding order in disorder，也就是在无序中寻找有序，根据数正方形、拆数游戏的经验，我们需要从过多的自由中主动增加约束，从而以这条约束为线索，找出解题的思路——
“观察皮克定理中等量关系——格子数=内点数 边点数÷2-1，发现格子数与内点、外点都有关，如果内点数、外点数都在变化，那么就搞不清楚它们分别对格子数的影响了，所以——
“所以！我们需要——控制变量！人为约束一个变量，让格子数暂时只与另一个变量有关！”
如下图所示——
⑨老师精心设计了五个格点多边形，它们的内部均不包含格点！
既然内点数都是0，那么格子数就只和边点数有关系！
于是从上到下，格点多边形的边点数分别是：4、5、6、7、8，而格子数（可直接去数）则分别是：1、1.5、2、2.5、3。
“相信大家不难发现，边点数每增加1，对格子数的贡献却只有半个！而就算我们把边点数统统除以2得到：2、2.5、3、3.5、4，这串数也比格子数多1！“
所以通过找规律，我们可以归纳出——格子数=边点数÷2-1！
找到了格子数与边点数的关系，接下来我们可以切换待控制的变量——
如下图所示——
⑨老师精心设计了四个格点多边形，它们都有4个边点（上图红色点）！
既然边点数都是4，那么格子数的变化就只和内点（上图绿色点）数的变化有关系！
于是从上到下，格点多边形的边点数分别是：4、4、4、4、4，格点多边形的内点数分别是：0、1、2、3，而格子数（可直接去数）分别是：1、2、3、4。
“相信大家不难发现，当没有内点时，4个边点带来的是1个格子，而后续边点数不变，内点数每多1，格子数也多1！”
所以通过找规律，我们可以归纳出——格子数=内点数 边点数÷2-1！
至此！
⑨老师用皮克定理去数格点多边形内含格子数的推理游戏就全部结束了！
“如果让我来总结一下的话，”⑨老师说，“那就是——与数正方形、拆数游戏一样！我们不能让自由失控成为无序，而应该主动控制自由，能够控制的自由，才是真正的自由！”
其四、于无序寻有序，从数学悟生活
探索完三个经典的数学问题，⑨老师终于停了下来。
他把目光投向窗外——
这座城市高楼林立，在阳光的照耀下，刺眼的玻璃幕墙，斑驳掉漆的外立面，界线分明的阴影都是那么的真实，天空朵朵白云缓慢地变幻着姿态，似乎一再提醒人们，时间、不要忘了时间正在流逝，看似一成不变的高楼，也在一点一点地落灰与掉漆——但城市的主宰，人类，却又壮志满满，一边粉刷着墙面，一边擦拭着玻璃，还不断把新的建筑堆叠在楼宇之间的间隙……
看着这番景象，⑨老师动笔写下一段感悟——
热力学第二定理告诉我们，熵随时间增加，整个宇宙朝着更加均匀、更加无序的方向发展；但人类本身却又用种种行动反抗熵增，甚至在某些局部战场还反击成功，比如空调就可以在炎炎夏日让人们在感受秋日的凉爽……
这让我不禁想到，人的身体随时间熵增，但人的意识却努力地追寻熵减，让他们在人生经历中不断反思总结，形成属于自己的有序信条或原则，但这些规则仅仅是不同人的不同选择，没有绝对的好坏之分。
人生只有一次，所以我们也只能选择一次，那么解出人生难题的方法是什么呢？
很简单，和做数学题一样，弱水三千，只取一瓢，约束自由，坚持原则，贯彻信念直到最后即可。
愿我们坚持做适合自己的事，愿我们都有光明的未来！
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