【问题引入】
（1）一个长方形的周长为30，且长比宽多7，求长和宽
（2）一个长方形的面积为30，且长比宽多7，求长和宽
【解】设宽为x，则长为x 3
（1）2(x 7)=30，整理得：2x 14=30①
（2）x(x 7)=30，整理得：x² 7x=30②
方程①和方程②有什么相同点和不同点？
类比一元一次方程，我们可以把x² 7x=30这样方程叫做一元二次方程
一、一元二次方程的定义
类比一元一次方程的定义，我们可以对一元二次方程如下定义：
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程
不难看出，一元二次方程必须满足3个条件：
①只含一个未知数(一元)
②未知数的最高次数是2(二次)
③是整式方程（分母中、根号下都不含未知数）
【例1】判断下列方程是否为一元二次方程？
【分析】
(3)有2个未知数，不满足条件①
(2)(5)最高次数不为1，不满足条件②
(4)(8)不是整式方程，不满足条件③
(7)化简后为12x 10=0，不满足条件②
所以，只有(1)(6)是一元二次方程
【理解】
1、“元”指未知数的个数，“次”指最高次数，所以一元二次方程指的是有一个未知数，最高次数是2的方程，且属于整式方程的范畴；
2、判断一个方程是否是一元二次方程，要看化简之后，然后根据一元二次方程必须的三个条件判别
二、一元二次方程的一般形式
【几点理解】
（1）对于一元二次方程，二次项系数a必须满足a≠0（易错点！！！），尤其在解决含参方程问题时，极易出错！
（2）这里的b和c可以为0，甚至可以同时为0，分别对应相关的形式：ax² c=0，ax² bx=0，ax²=0
（3）在判定和求解一元二次方程时，通常情况下，都要首先化成一般式
（4）一元一次方程的一般形式ax b=0，要求一次项系数a≠0
（5）一元二次方程的一般形式ax² bx c=0，实际是根据x的次数由高到低的顺序排列的，即按"降幂"排列
（6）无论是项还是系数，都应该连同前面的符号
（7）ax² bx c=0并不一定是一元二次方程，只有当a≠0时才是
【例2】将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项以及它们的系数
（1）3x(x-1)=5(x 2)
（2）x²=0
【分析】
解：
（1）
3x²-3x=5x 10
3x²-3x-5x-10=0
3x²-8x-10=0
二次项：3x²，其系数为3
一次项：-8x，其系数为-8
常数项：-10
（2）
二次项：x²，其系数为1
一次项：0，其系数为0
常数项：0
【例3】
【分析】
原方程若为一元二次方程，必须满足：
m²-2=2且m-2≠0(易忽略)，得：m=-2
【例4】方程(2a-4)x²-2bx a=0
①在什么条件下，此方程为一元二次方程？
②在什么条件下，此方程为一元一次方程？
【分析】
①此方程若为一元二次方程，必须满足：
2a-4≠0
即a≠2时是一元二次方程
②此方程若为一元一次方程，必须满足：
2a-4=0且-2b≠0
即a=2且b=0时是一元一次方程
三、一元二次方程解的概念
能使方程左右两边相等的未知数的值就叫做方程的解，一元二次方程的解也叫一元二次方程的根
【理解】
对于方程的解(无论何种方程)，其核心是"能使方程左右两边相等"，可理解为：如果x=a是方程的解，那么x=a就满足这个方程，即把x=a代入方程，左右两边相等
【例5】请验证x=-5是不是方程x² x-12=0的根
【分析】
将x=-5代入方程左边：x² x-12=(-5)²-5-12=8≠0
所以，x=-5不是方程x² x-12=0的根
【例6】已知关于x的一元二次方程(m-1)x² 3x-5m 4=0有一根为2，求m
【分析】
既然x=2是方程的根，那么我们就可以把x=2代入方程得：
4(m-1) 6-5m 4=0，解得m=6
当m=6时，原方程二次项系数m-1≠0
【例7】关于x的一元二次方程(m-1)x² x m²-1=0有一个根为0，求m
【分析】
既然x=0是方程的根，那么我们可以把x=0代入方程得：
m²-1=0，得m=±1
又∵原方程二次项系数m-1≠0，即m≠1
所以，m=-1
【练习题】
1、下列方程时一元二次方程的是（ ）
2、关于x的方程(k²-1)x² 2(k-1)x 2k 2=0，当_______时，是一元二次方程；当________时，是一元一次方程
3、
4、（1）若关于x的方程x² ax-2=0有一个根是1，则a的值为________；
（2）已知关于x的一元二次方程x² bx c=0的两个实数根为-1，3，则b=_____，c=_________；
（3）已知关于x的一元二次方程ax² bx c=0（a≠0），且a b c=0，则此方程必有一个根为_________。
5、若x=m是方程2x²-3x-1=0的一个根，则2024-6m² 9m的值为__________.
【参考答案】
1、(1)(2）为一元二次方程'
2、k≠±1
3、m=1
4、（1）1 （2）-2，-3 （3）1
5、2021
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