负面清单出来后，对数学负面清单的质疑声就没有断过。
我看了一下质疑主要就是：
对数学有天赋、有兴趣的孩子，他们会被断了数学学习的道路。
其实，这个质疑太牵强了。
首先，对数学有天赋，和对数学有兴趣，是完全两种不同的类型。
对数学有天赋的孩子是老天爷赏饭吃，可不仅仅是喜欢数学而已。
我知道有一个8岁的小姑娘，小时候主要是老人带着，父母也没时间教她什么，上到小学二年级的时候老师发现她可以迅速口算出三位数相乘，并直接将得数开方。后来老师拿初中的解析几何题给她，小姑娘也直接算出来了，然后姑娘的父母就被老师、校长请到学校，打造将来的教育规划。
像杨振宁也是初中的时候拿着他爸爸的英文版数论直接啃，要知道数论被成为数学中的“皇冠”，是纯粹数学的分支，是纯逻辑和抽象的。
再比如美国数学家凯瑟琳，10岁的时候解类似这样的方程式（x² 6x-7）（2x²-5x-3）=0，一点问题都没有。那会没有计算机，求x的解全是小姑娘自己在黑板上划的。
所以啊，其他领域的天赋有可能会被埋没，但是数理化方面的天赋表现出来会特别明显，真的是想埋没都埋没不了，尤其还在建设期的中国，这样的孩子就是金馍馍，岂是负面清单挡的住的。我曾经在解读强基计划文章里说的很明确，天赋孩子的培养通道是打通的，完全不用担心。
最大的问题是家长误以为孩子对数学有兴趣=孩子有天赋，像一些被父母刷题“催肥”长大的孩子，到小学后半段或者初中真的很尴尬，继续竞赛之路无法和有天赋的孩子PK，之前曾经的兴趣还被各种刷题磨灭了；回归普通孩子的学习之路，家长又觉得之前的心血白费了，进退都不甘心。
所以，负面清单本来就不是规范什么天才儿童的，它就是为普通智力的孩子提供一条科学学习的道路，不要小看1-3年的时间就学那么一点点知识，这些知识如果能完全理解透，并建立关联，孩子的数学绝对是中等以上的水平。
ok扯完前面的，我们结合着负面清单说一下学龄后孩子数学的科学学法。
学好小学-高中教材里的数学就十六个字：
联系生活，完全理解，建立体系，融会贯通。
一定要让孩子明白，教科书里所学的这些数学知识是为了解决实际生活中的问题而产生的，试图去理解每一个抽象的数学概念是要解决什么问题，并且打通数学知识点与知识点的屏障，把他们能全部串起来，形成一张四通八达的大网，这样孩子就不会背诵式的学习数学。
我把负面清单列入的负面内容和教学大纲本来应该学习的知识仔细比较了一下，其实负面清单规范的就是超前学习。
比如小学1-3年级就去做“多位小数的大小比较、异分母分数的大小比较”；“三位数乘两位数的乘法计算，三位数除以两位数的除法计算”等等。
这种超前学习真的没有什么太大必要，因为这种知识就是纯运算层面的东西，不是数学思维层面的提升，3年级会和6年级会，对整体数学的学习根本没有任何影响。就跟6个月会走路和1岁会走路一样，并不会显著的对孩子有提高，而孩子的时间是有成本的。
孩子小时候记忆力很高，通过大量做题，会形成机械记忆，做题看上去做对了，但实际你问他概念，他讲不清楚。这在低年级的时候影响尚看不出来，但是到中高年级会大量爆发问题，因为题海战术训练的机械记忆掩饰了孩子对数学的真正理解程度。
再比如被列入1-3年级“负面内容”的“和倍、差倍、和差”等典型类型题目。
不是说这些东西不能学，而是说没必要在小学1-3年级去刷这种题。
像“和倍、差倍、和差”这样的题跟小学奥数典型的“鸡兔同笼”问题一样，老师教孩子各种解题技巧，什么画图法，抬脚法，假设法等等。
比如鸡兔同笼的典型题目：在一个笼子里，有鸡和兔子，从上面数，数出来35个头，从下面数，数出来94只脚——
用“抬脚法”的解题技巧就是：假设所有的兔子和鸡*同时举起了两只脚*，那么由于有35个头，所以一共举起了70只脚。由于鸡只有两只脚，那么多出来的94-70=24只脚，全属于兔子，所以兔子一共有12只，剩下的都是鸡。
说实话，这样的技巧，对于有些抽象思维还没那么好的学生来说，并不好理解，无法理解就只有祭出大杀器——背诵。
关键是背诵下来的技巧，又无法运用在鸡兔同笼的变种问题上。
就像在下面这道题上面，“抬脚法”的技巧就不适用了。
“一共有20道题目，答对一道得5分，答错或不答扣一分，要答对多少道题，才能得82分?”
那孩子做100道鸡兔同笼的问题，如果每次解题技巧都不一样，就意味着得背100种解题技巧。
最悲剧的是，是花大量时间背诵的解题技巧，等到初中就会“一文不值”，因为初中有一个非常有效的工具解决成千上万道鸡兔同笼和“和倍、差倍、和差”的问题，那就是方程式。
那美国是怎么教小学生鸡兔同笼这种题的呢？
大家都觉得美国的数学差，其实只是因为美国不会在小学阶段教过多的算数技巧，在他们看来，数学绝对不是背诵的，而是思维能力的提升。
所以美国教鸡兔同笼是中国人看起来非常笨的办法，列表法：
如果35只全是鸡，那么就只有70条腿；
那如果34只鸡，1只兔子，就是72条腿；
一直列表列到23只鸡，12只兔子，就是94条腿。
这个办法虽然笨，但是却可以解答所有鸡兔同笼的变种问题，像这道题：
“一共有20道题目，答对一道得5分，答错或不答扣一分，要答对多少道题，才能得82分?”
按照列表法也能计算出来。
答对20道题；得分100
答对19道，得分94
一直列表到答对17道题，答错或不答3道题，得分82
一个人的数学思维进阶主要有两个大台阶：
第一个台阶：从具象思维跨越到抽象思维。
第二个台阶：从常数思维跨越到变量思维。
美国的小学阶段就是用这种特别笨的办法让孩子在列表的过程中非常直观地感受到数字的变化，也即让孩子体会变量思维。
等孩子上中学后，学会列方程式，像“鸡兔同笼”、“和倍、差倍、和差”这样的题就可以非常容易的通过列方程的方式解决。
但列方程需要一个前提条件，就是阅读理解能力以及提炼数学语言的能力到位了，如果孩子提炼数学语言的能力很差，那么就算刷了1万道题，只要题目一改，立马歇菜。肯定列不出来正确的方程式。
许多孩子3年级之后就无法继续通过超前学习获得抢跑优势，就是因为抽象语言和现实语言的转换根本跟不上，他们前期本该积累的时间被用去学根本无用的解题技巧。
所以在这里再次强调一下语文的重要性。小学阶段的数学相对是基础的，大家不要花时间全部在数学上，更多的时间应该分配在语文上面，也就是要锻炼孩子的阅读理解能力。这样，初中才不会因为阅读理解跟不上而落下数学的学习。
如前所述，一个人的数学思维进阶主要有两个大台阶：
第一个台阶：从具象思维跨越到抽象思维。
第二个台阶：从常数思维跨越到变量思维。
从家长能被孩子气吐血的数的认识和数的运算来说，其实认识数并学会数学计算，就是孩子从具象跨越到抽象思维的过程。
不要以为孩子就应该理所应当的明白这些，因为一个孩子理解数的过程，就是人类理解数的几千年时间的压缩。
就比如0这个抽象数字，人类花了几千年才搞明白。负数这个发明一开始传到欧洲的时候，欧洲著名的数学家都认为所谓的负数非常荒谬，压根不认可负数的存在。
所以小学6年的时间，就是需要孩子通过各种各样的方式去真正理解这些数字（自然数，负数，分数，无理数等等），去把人类几千年的数学知识结晶彻底掌握，理解透，这样才不会犯所谓的“粗心大意”的错误（其实，数学上所有的粗心大意，基本都是因为概念理解的不够透彻）。
比如很多孩子会反复做错的题：
什么数字自己相乘等于4？很多孩子的答案是2，但这其实是错误答案，正确答案2和-2.
如果对负数这个概念理解不深，孩子就算记住了这道题，换个题目还是会做错。
比如：什么数字自己相乘等于9？
错误的答案又是3，而忘记写-3.
再如初中的题：9的平方根是多少。
错误的答案是3，但其实正确答案是3和-3.
举这个例子就是告诉大家，你以为孩子是粗心大意的错误，但其实是基础概念没有打扎实。
中国家长有时候就是太急了，在没有给孩子足够多的理解空间时，就着急忙慌的开始刷题，做练习册。最终其实掩盖了孩子在数学方面存在的问题。
第二个台阶：从常数思维到变量思维。
小学时学的5 3=8，12÷2=6，这就是确定性的常数思维，而从方程式、几何和函数开始，就已经开始是变量思维了。
拿函数举例：函数研究的是，输入一个数，经过函数运算之后，产出一个数。反映出两种变量之间的关系，其中一种变量随着另一种变化。
函数表达式y=f（x），f是英文单词function（功能），也就是说，我们可以把函数想像成为一个功能盒子：
（该图引用自Coursera课程：Calculus:Single Variable）
只要你根据这个功能盒子的功能进行相应的输入（入口放东西，也即自变量），就会得到相应的输出（因变量）。
很多孩子学函数学不明白，其实也是没有真正理解函数的本质。
其实，生活中处处是函数，也是处处可以用到函数的。
你去商场停车场，停的时间不一样，停车费也不一样，那停车费就是一个取决于停车时间的函数。
孩子向外扔一个球，扔的力度不同，距离不同，扔的距离就是一个取决于力度大小的函数。
所以数学上的任何知识，好的老师会让孩子深入的知识背后的逻辑，以及要解决的问题。
无论小学数学，还是高中数学，都一定是要在理解的基础上再去做题，加深理解，理解是目的，做题是手段，但很多时候，这个目的与手段搞反了。
数学其实是一个结构非常完美的大厦，大厦内部楼梯交错，知识点与知识点之间有交集、有分离，有缠绕。
就比如很多学生头疼的几何，其实再难的几何题，最终都可以拆成五个最基本的公理。这五个公理，又可以推导出欧式几何学的任何结论。
这五条公理就是：
1、由任意一点到另外任意一点可以画直线（直线公理）；
2、一条有限直线可以继续延长；
3、以任意点为心，以任意的距离（半径）可以画圆（圆公理）；
4、凡直角都彼此相等（垂直公理）；
5、过直线外的一个点，可以做一条，而且仅可以做一条该直线的平行线（平行公理）。
学生一定要学着从5个公理去推所有的定理，在欧式几何基础打扎实的情况下，到了解析几何，其实就是将几何转移到二维或者三维的坐标系中，几何和代数又联通了起来，运用解析几何这个工具，又可以帮助孩子更好的理解初中的方程，更好的学会解方程。
所以你看，孩子学数学，就跟孩子去一个巨大的游乐场玩一样，孩子要对每一个地方（知识点）足够熟悉，足够了解，然后在这个基础上具备对游乐场的宏观认识，明白可以从不同的路到达同一个终点。这就数学学习里的建立体系，融会贯通。
最后，给大家一个比较笼统的数学学习规划（比较笼统是说这是一个方向性的，家长要根据孩子具体的情况，加以细化）：
小学阶段，不要花大量的时间超前学习数学，在完全掌握了教科书内容的基础上，可以把更多的时间分配在语文和其他兴趣的大量尝试上（比如体育项目，乐器、画画，玩等等）。语文和阅读是真的需要花很多时间积累并容易在后期量变引起质变的，阅读理解能力的提升对将来学习文理科都大有帮助。
初中阶段，无论数学、语文还是兴趣爱好都要加深一点难度，此时就需要深度学习，刻意练习。数学要开始多做一些题，但记住，做题是为了加深对基础概念的理解，做题是手段，而不是目的。
高中阶段，其实没什么可说的了，小学和初中的底子能打好，高中按部就班的深度学习就可以。如果高中出现跟不上的情况，一定停下来花时间复盘是不是之前的哪块砖头没铺好，然后从这里开始重新学习，重新学习的时候一定要完全理解这个知识点，千万不要越着急越往后赶，越着急越刷题，这样其实就犯了方向性错误，努力半天，最终效果是负的，孩子家长干着急。
最后，推荐两套书，这两套书我强烈建议入手，这两套书是属于能够提升孩子数学思维，点燃数学兴趣的。很多教育资源不发达的地区（没有好老师去在理解层面点拨孩子），更应该入手这两套书。
这两套书小学三年级之后-高中都可以看。小学的时候不一定完全能看懂，不用着急，从能看懂的看起。根据书中的引导让孩子试着去理解数学背后的精髓，以及数学在现实生活中的巨大意义，绝对对数学学习大有帮助，磨刀不误砍柴工，看这类型的书就是在为学习“磨刀”。
一套是《蒲公英数学图画书》。
这套跟教科书的内容更相关一些，北京大学数学科学学院教授、博士生导师马翔评价这是一套“独一无二的数学书，也是一套独一无二的图画书，展示了数学语言的精妙以及数学思维的迷人”。
一套是《魔鬼数学》。
这套跟教科书的内容没有太大关系。作者是世界知名数学家乔丹·艾伦伯格，他用了一种完全不同于我们认知的方式将数学趣味的剖析放在我们面前。特别有意思的一套书，强烈推荐买来后家长也看一下，我可以肯定的说，它对你生活和工作的决策也有帮助。
谢谢你关注帝呱呱星球，这里有传说中的海淀、顺义妈妈。因为地域和工作的原因，我们得以接触优质的教育资源和先进的育儿理念，希望和你分享鸡娃时代里不一样的育儿新认知、帝都新生活。
