x和y均有的微分方程（二阶常微分方程y）

二阶常微分方程y''-y'=0的通解

主要内容：

本文通过一阶微分方程分离变量法、一阶齐次微分方程和二阶常系数微分方程通解计算，介绍二阶常微分方程y''-y'=0通解的计算步骤。

※.分离变量法

由y''=y'有：

d(y')=y'dx

d(y')/y'=dx,两边同时积分有：

∫d(y')/y'=∫dx，即：

∫d(lny')= ∫dx，

lny'=x C00,对方程变形有：

dy/dx=e^(x C00)=C01e^x,

再次积分可有：

∫dy= C01∫e^xdx，即：

y=C01*∫e^xdx

=C1e^x C2。

※.一阶齐次微分方程求解

因为 (y')'-y'=0，按照一阶齐次微分方程公式有：

y'=e^(∫dx)*(∫0*e^(-∫dxdx C0)，进一步化简有：

y'=C0 e^x，继续对积分可有：

∫dy=∫C0 e^xdx，即：

y=C0*∫C0e^xdx

=C1e^x C2。

※.二阶常系数微分方程求解

该微分方程的特征方程为r^2-r=0，即：

r(r-1)=0，所以r1=1，r2=0。

此时二阶常系数微分方程的通解为：

y=C1e^(r1x) C2e^(r2x)=C1e^x C2。

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