前天连载，从勾股定理谈到欧拉的虚坐标系，从而谈到虚坐标系中数理兼容表达的0。接着这个话题，昨天连载谈了一下对0的认识，结果留言多多。多以古代数理文化或道教的方式解释0。
数学就写了一个0，数理文化就蒙了，解释几千年，好像就说不清楚
几何勾股定理的产生，却意外促使古代数理文化随之版本升级
我们通常很少在意数学的0，认为很简单，没什么解释的。结果是，似乎谁也没有描述清楚0到底是什么。都是基于自己的文化底蕴，对0产生了不同的解读。
我们以为的知道，明确，在0面前，却变得如此的含糊。
数学的0，却为数理玄学埋下了伏笔。0这个现代数理的渊源，在西方文化体系中，代数方面在笛卡尔、欧拉，前文连载已经解读；几何方面，西方认为在克莱因瓶。而中国古代这个渊源就得追溯到太极的鱼眼，追溯到《老子》中的“无”这个字。
我们可能更多地关注了克莱因瓶这个瓶子本身，就如当年我们纠结在太极的鱼眼不同的解读中一样。
克莱因瓶
克莱因瓶是为了表达西方传统的欧氏几何中维度概念的死角问题，由莫比乌斯带引出了的。这个几何发展方向，促使数学的另外一个分支，拓扑学的产生。它打破传统维度几何概念的限制。（还有一个分数维，算是对传统维度概念的补充、完善、弥补，但是自己尚未完善，至今与传统欧氏维度概念并不能完全对接。这两个分支以后再说，今天继续解决0的问题。）
先谈克莱因瓶，懂了克莱因瓶，莫比乌斯带就不是问题了。
代数的0到底有没有几何形状？如果没有几何形状，有没有正反面？正方面算不算几何形状？这个话题需要从克莱因瓶谈起。
对于克莱因瓶，有太多的误读，甚至有人认为它在三维世界中不存在。那瓶子都做出来摆在那里，为什么会说它不存在呢？
这又是模糊不清的四维概念惹的祸。
四维时空不是四维空间，四维空间也不是四维时空，为什么
克莱因瓶的产生
克莱因瓶
简单说，如果让克莱因瓶的瓶颈不穿过瓶身，可否能让瓶口回到瓶子的底部，且让瓶口与瓶底正好180度反向呢？
德国数学家克莱因（1849年－1925年）提出了“不可能”设想，即拓扑学的大怪物——克莱因瓶。这种瓶子根本没有内、外之分，无论从什么地方穿透曲面，到达之处依然在瓶的外面，所以，它本质上就是一个“有外无内”的古怪东西。 尽管当时玻璃工业已经发展，但是，所谓的“克莱因瓶”却始终是克莱因先生脑子里头的“虚构物”，根本制造不出来。后来一位英国的玻璃吹制工贝德福德，用玻璃解决了它。他做出的一系列引人注目的物品很快就成为伦敦科学博物馆中的一项永久性陈列品。
这个完全符合克莱因数学条件的瓶子是做不出来了。我们见到的克莱因瓶虽然表达了克莱因的部分数学思想，但是，并没有完全符合条件，瓶颈穿过了瓶身。因此，这是一个“伪克莱因瓶”。
用数学语言表达就是：克莱因瓶是不可能嵌入三维空间中的。在三维空间中，克莱因瓶必然跟自身相交，这样得到的克莱因瓶在三维中的实现是克莱因瓶在三维空间中的浸入(immersion)。
通过对克莱因瓶的简单介绍，我们发现，它表达的原理，为什么与太极的原理有几分雷同呢？0在克莱因瓶中被放大表达了，瓶口与瓶底都是0。而不是如太极鱼眼一样被缩小表达了。而且，太极鱼眼没有明确表达运行路径，而是用抽象的语言来描述这个转换的机制。
笔者曾经将这个太极图中没有直接画出来的路径试着画出来。
甲骨文的启发—三维的太极图横空出世了
三维表达的太极图
在太极图的鱼眼处，阳的终结是一个阳点。而这个阳点稀里糊涂地就变成了阴点，变成了阴的开始。如果点有形状，且是阴阳分隔的球体，那么只要转身180度，才能达到这个效果。
可是，点有形状吗？这与笛卡尔定义的点有冲突。如果点没有形状，这种转换如何表达？古人用了一堆晦涩难懂的人文的解读来表达。
结果就是，笛卡尔捷足先登。即然这个点有几何问题，我们先假设这个问题不存在，让后人再折腾这事，先解决现实的应用问题。那么解析几何就产生了，笔者如今也就来折腾这事了。
太极这只超前的人文兼容表达的兔子，被乌龟抄了数学的近路。但这个数学问题还放在这，并未解决！
谁说必须所有的数学问题都得解决了？没解决的数学问题还很多，不差这一个。龟兔赛跑，只需领先一步就是赢了，并没有明确的比赛规则。没说不准超近道，也没说不准弯道超车，更没说不准改变规则。
结合相对论的三维太极图
基于这种思考，太极还能引申，奇点、黑洞（鱼眼处）、虫洞（图中开口处），这个三维的太极图就都可以表达了。
这太极兔子曾经领先了太多，仅仅是被乌龟近几百年抄了近道。这个近道是什么？－－数学！
用中国传统文化方式通俗解释克莱因瓶：最早提出这个思想的是老子，太极图形是后世衍生出来的，但肯定比莫比乌斯带和克莱因瓶早很多。
太极的阴阳两级分别用一条鱼的形状表达。在阴鱼的最大处，有一个阳鱼眼。一般画得很大的一个点，但是这个点代表的是无穷小的一个点，兼容表达数学的0和无限小。它在甲骨文中，是无的意思。也就是阳鱼的尾巴的起点是从这里开始的。
太极图
现在我们的数学问题来了。这个太极图形是画在二维欧几里得平面上的，假设不离开这个平面，也就是不进入三维空间，这个阳鱼眼怎么与阳鱼的尾巴连接。这就是克莱因瓶遇到的问题。它是用一个三维的瓶子形状来表达这个问题。如果瓶颈不进入四维，那么瓶颈就必须穿过瓶壁。也就是现实的三维中，真正的瓶颈不穿过瓶壁的克莱因瓶是不存在的。
而太极的阳鱼眼到阳鱼尾巴这是要跨域到三维才可实现可见的连接，而我们将它限制在二维平面，那么它也就是只能画那么一个点来表示。无法表示连接路径。这个路径上升到到下一个维度，那么就和克莱因瓶遇到的问题一样了。
当然，这个没法在二维太极图中画出来的路径也是相对论的数学推论－－虫洞、黑洞、奇点的表达。先假设太极图本身是三维的就可以了。数学允许前提假设！那么，那个点的出口现在的理论物理假说的数学解释就是白洞。而连接这个路径的鱼尾巴，我们能够看见的，就是黑洞视界，路径就是虫洞，点就是奇点。
这是太极理论方法的数学解读。
用广义分数维方式通俗解释克莱因瓶：现代分形的分数维，这种数学产生于上世纪七十年代。是针对于分形几何产生的维度概念。
实际上，真正的2.0维是经典的欧几里德二维平面。一张放在桌面上的白纸，这是2.0维。如果这张纸有厚度，过去的解读，就是因为有了长宽高，而变成了三维体系。那什么是二点几维呢？从这张白纸上升起一根线来，这就是简单的2.1维。如果这根线复杂到充满三维空间的整体，那么，这就是2.9999维。这个9循环。而三维空间的无限尺度的这个整体，才是3.0维。
现在我们来看莫比乌斯带，那是二维吗？在整个转身衔接的过程中，它占用了二点几维的空间，它已经不是纯粹的二维了。它是最接近2.0整数维的一个特殊体。
莫比乌斯带
那么环形和克莱因瓶呢？明显不是经典意义的二维面。它是经典意义的三维体，但是又不是整数三维体。那么，我们能做出来一个在三维中对付可看的伪克莱因瓶，就是因为，做出来的伪克莱因瓶虽然能够表达克莱因的部分数学思想，但由于这个瓶子仅仅是大于整数三维，但是小于整数四维的一个几何体。而真正的克莱因瓶需要4.0整数维多一点点的维度。
这两种方法的解释，比用拓扑的解读要简单一点点。同时，笔者使用的广义分数维度概念，数学书里面并没有这样的解读，是对分数维概念广义的引申扩展。基于这种广义的引申，相对论是大于3.0维小于3.9（9循环）维以下的数学拟合。那么，四维时空中的这个四维概念，是爱因斯坦错误的表达。当时分数维这个概念还没有，而对于分数维概念广义的引申，今天你才看见，数学书里也没有，外国人还未发明！
广义的分数维向上、向下解读方式是通用的。
如果理解上文了，莫比乌斯带就不用太多解释了。带对于传统的欧氏几何，它是二维的概念。可是扭了180度的弯再接上，这就是莫比乌斯带了。我们通常会看到用蚂蚁介绍莫比乌斯带的。那只催悲的蚂蚁，在平面上爬，它不知道自己已经在三维空间中循环地行走，因为它从未仰望星空，只看到了二维的平面，并未感觉出来平面180度的转身。
传统的欧氏几何，因为这个带的180度的华丽转身，几何解读死角被暴露出来，结果就是拓扑数学产生了。
这种带通常被应用于动力传动皮带上，以避免传送带单面磨损。
数学解读克莱因瓶（这段可以跳过，能看懂这段的，就不用听我解释数学，看看太极的解读就可以了。）
“数学中的克莱因瓶（Klein bottle）是一种不可定向的闭曲面，没有“内部”和“外部”之分。克莱因瓶最初的概念是由德国数学家菲利克斯·克莱因提出的。克莱因瓶和莫比乌斯带非常相像。“克莱因瓶”这个名字的翻译其实是有些错误的，因为最初用德语命名时候名字中“Kleinsche Fläche”是“克莱因平面”的意思。大概是误写成了“Flasche”，这个词才是瓶子的意思。在数学上，克莱因瓶是一个不可定向的二维紧致流形，而球面或轮胎面是可定向的二维紧致流型。从拓扑学角度上看，克莱因瓶可以定义为正方形区域[0，1] × [0，1]模掉等价关系 (0，y) ~ (1，y) ，0 ≤y≤ 1 和 (x，0) ~ (1-x，1) ， 0 ≤x≤ 1。就像麦比乌斯带（又名：莫比乌斯环）一样，克莱因瓶不可定向。但是与之不同的是，克莱因瓶是一个闭合的曲面，也就是说它没有边界。莫比乌斯带可以在三维的欧几里德空间中嵌入，克莱因瓶只能嵌入四维（或更高维）空间。”旁白
无奈
对180度这个华丽的转身，最先产生困惑的是老子。
“道冲,而用之有弗盈也。”－－《道德经》第四章后世文人，没有帮老子解决这个困惑。外国人也就出手帮忙了。
你可以查一查有关这句话古人千奇百怪、牵强附会的解释，就没人谈到数学。当然，脾气不好的就算了，别看了，免得气着。老子所处的年代，文理不分科，而后世文人，从未想到这句话谈的是数学，而且是领先2000多年的数学思考！
只能假设你懂了。古人要是悟一悟太极的几何原理，那么黑洞、虫洞、奇点、白洞假说，都应该是中国人提出来的。至于这个带和瓶，也就是装饰品了。
待续。。。。。。
,
