数学可以定义为这样一门学科,我们永远不知道其中所说的是什么,也不知道所说的内容是否正确。 ——罗素
康托集合论的提出，数学家认为数学大厦已经建成从古希腊先哲中诞生的“极限”和“无理数”两头恶兽，曾经引发了第一次数学危机和第二次数学危机，什么是“极限”？从古希腊数学家芝诺开始，人类就一直在思考无穷小量究竞是不是零？无穷小及其分析是否合理？这让数学家十分痛苦，即使过了2000多年，牛顿的微积分依然深陷于“极限”的泥沼之上。
“阿基里斯追不上乌龟”：阿基里斯总是首先必须到达乌龟的出发点，因而乌龟必定总是跑在前头。这是对“极限”难题的形象诠释之一。
正如希尔伯特说的那样：“没有任何问题象无穷那样深深地触动人的情感，很少别的观念能象无穷那样激励理智产生富有成果的思想，然而也没有任何其它概念能象无穷那样需要加以阐明”。
而无理数则把希腊先哲创立的“万物皆为数”的世界击垮，古希腊人把有理数视为连续衔接的那种算术连续统的设想彻底地破灭了，人类转而开始探索集合。
这也让数学的发展一直摇摇欲坠，这两把悬在所有数学家头上的利剑在肆虐了2000年之后，威尔斯特拉斯、狄德金和康托等人发起了浩浩荡荡的分析算术化运动，建立了完备的实数体系，将“极限”、“无理数”两头恶兽斩杀，从而为数学的发展铺平了道路。
当时，康托尔和戴德金都是将实数定义为有理数的某些类型的“集合”。戴德金方法可以称为序完备化方法，康托尔方法可以称为度量完备化方法。这些方法在近现代数学中都已成为典型的构造方法，被后人不断推广发展成为数学理论中的有力工具。
康托尔的有理数序列理论
而康托尔的这些思想也促进了集合论的诞生。1873年11月29日康托尔给戴德金写了一封信，把导致集合论产生的问题明确地提了出来：正整数的集合（n）与实数的集合（x）之间能否把它们一一对应起来。同年12月7日，康托尔写信给戴德金，说他已能成功地证明实数的“集体”是不可数的，也就是不能同正整数的“集体”一一对应起来。这一天应该看成是集合论的诞生日。
集合论是研究集合（由一堆抽象物件构成的整体）的数学理论，包含了集合、元素和成员关系等最基本的数学概念。
而集合论中元素也有三大特性：确定性、互异性、无序性。首先集合中的元素必须是确定的，例如{我们学校帅的男生}这就不是一个集合,因为帅的定义不同,有些人认为阳刚是帅，有些人认为阴柔是帅，所以元素不确定；集合中的元素必须是互不相同的 ，例如{5,6}是一个集合,但是不能表示为{5,6,5}，这就是互异性；{1,2,4}和{4,2,1}是同一个集合，这就是集合的无序性，因为集合中的元素是不存在顺序的。
从1879年到1883年，康托尔写了六篇系列论文，论文总题目是“论无穷线形点流形”，其中前四篇同以前的论文类似，讨论了集合论的一些数学成果，特别是涉及集合论在分析上的一些有趣的应用。第五篇论文后来以单行本出版，单行本的书名《一般集合论基础》。第六篇论文是第五篇的补充。《一般集合论基础》在数学上的主要成果是引进超穷数。
该文从内容到叙述方式都同现代的朴素集合论基本一致，所以该书标志着点集论体系的建立。康托尔创立的集合论可以说在数学的发展中起到了重大的作用，在数学中占有一个独特的地位，它的基本概念已渗透到数学的所有领域。
数学家们发现，从自然数与康托尔集合论出发可建立起整个数学大厦。因而集合论成为现代数学的基石。
这让数学家欢喜异常，1900年国际数学家大会上，法国著名数学家庞加莱就曾兴高采烈地宣称：“……借助集合论概念，我们可以建造整个数学大厦……今天，我们可以说绝对的严格性已经达到了……”。
庞加莱的话反而成了一个Flag，在两年之后，罗素在集合论中发现了一个问题，罗素是著名的哲学家、文学家、数学家，他擅长从哲学的角度去思考数学的发展，也就是我们经常说的“数学是什么”这一高度去看待数学。
1903年，罗素从集合元素的三大特性中发现了康托尔集合论中的一个BUG。罗素设集合S是由一切不属于自身的集合所组成，即“S={x|x ∉ S}”。那么问题是：S包含于S是否成立？首先，若S包含于S，则不符合x∉S，则S不包含于S；其次，若S不包含于S，则符合x∉S，S包含于S 。根据排中律，一个元素或者属于某个集合，或者不属于某个集合。因此，对于一个给定集合，问是否属于它自己是有意义的。但对这个看似合理的问题的回答却会陷入两难境地。
而罗素悖论影响最广的版本就是“理发师悖论”：在某个城市中有一位理发师，他的广告词是这样写的：“我只给所有不给自己刮胡子的人刮胡子”。
来找他刮脸的人络绎不绝，这些人自然都是那些不给自己刮脸的人。可是，有一天，这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了，他本能地抓起了剃刀，你们觉得他能不能给他自己刮脸呢？
如果他不给自己刮脸，他就属于“不给自己刮脸的人”，他就要给自己刮脸，而如果他给自己刮脸呢？他又属于“给自己刮脸的人”，他就不该给自己刮脸。
这就是数学史赫赫有名的“一个理发师冲进了大厦，把整个大厦搞了个天翻地覆，甚至直接动摇了整个数学大厦的地基”事件。
理发师引发的第三次数学危机将数学界搞得所有数学家都焦头烂额，直因为罗素悖论只涉及最基本的集合论概念：集合，元素，属于和概括原则，它的构成十分清楚明白，所以它涉及的是数学基础问题。
这个悖论的出现说明以往的朴素集合论中包含矛盾，因而以集合论为基础的整个数学就不能没有矛盾。这个悖论也同时说明数学中采用的逻辑也不是没有问题的。
罗素悖论表明不能无条件承认概括原则，然而概括原则的改变将使集合论大为改观，因此对整个数学的影响是巨大的。简单来说，承认无穷集合，承认无穷基数，看起来悖论可以消除，矛盾可以解决，然而数学的确定性却在一步一步地丧失。这就是问题的矛盾所在。
这也让许多毕生从事集合论的数学家难以接受，甚至许多成果都付之一炬，数学家弗雷格在他刚要出版的《算术的基本法则》第2卷末尾写道：
"一位科学家不会碰到比这更难堪的事情了，即在工作完成之时，它的基础垮掉了，当本书等待印出的时候，罗素先生的一封信把我置于这种境地"。
这就是真理的无穷，即使我们对于数学大厦的构建耗费了如此巨大的精力，花费了数千年的时间，我们得出的很多结论仍然不是严密的，可能会有漏洞。
为了解决危机，1908年策梅洛提出了比较完整的公理，这些公理指明了对集合的哪些操作是合法的。后经过弗兰克尔的完善和补充，形成了ZF公理系统。
(ZF1)外延公理：一个集合完全由它的元素所决定。如果两个集合含有同样的元素，则它们是相等的。
(ZF2)空集合存在公理：即存在一集合s，它没有元素。
(ZF3)无序对公理：也就是说，任给两个集合x、y，存在第三个集合z，而w∈z当且仅当w=x或者w=y。
(ZF4)并集公理：也就是说，任给一集合x，我们可以把x的元素的元素汇集到一起，组成一个新集合。
准确的定义：“对任意集合x，存在集合y，使w∈y当且仅当存在z使z∈x且w∈z”。
(ZF5)幂集公理：也就是说，任意的集合x，P（x）也是一集合。
准确的定义：“对任意集合x，存在集合y，使z∈y当且仅当对z的所有元素w，w∈x”。
(ZF6)无穷公理：也就是说，存在一集合x，它有无穷多元素。
准确的定义：“存在一个集合，使得空集是其元素，且对其任意元素x，x∪{x}也是其元素。”
根据皮亚诺公理系统对自然数的描述，此即：存在一个包含所有自然数的集合。
(ZF7)分离公理模式：“对任意集合x和任意对x的元素有定义的逻辑谓词P(z)，存在集合y，使z∈y当且仅当z∈x而且P(z)为真”。
(ZF8)替换公理模式：也就是说，对于任意的函数F（x），对于任意的集合t，当x属于t时，F（x）都有定义（ZF中唯一的对象是集合，所以F（x）必然是集合）成立的前提下，就一定存在一集合s，使得对于所有的x属于t，在集合s中都有一元素y，使y=F（x）。也就是说，由F（x）所定义的函数的定义域在t中的时候，那么它的值域可限定在s中。
(ZF9)正则公理：也叫基础公理。所有集都是良基集。说明一个集合的元素都具有最小性质，例如，不允许出现x属于x的情况。
准确的定义：“对任意非空集合x，x至少有一元素y使x∩y为空集。”
这在一定程度上解决了第三次数学危机，但是却并没有彻底将理发师从数学大厦当中请出去，长达100多年的数学危机如今还没有解决。
矛盾的消除，危机的解决，往往给数学带来新的内容，新的进展，甚至引起革命性的变革，这也是危机带给数学界最大的意义。
我们也期待数学家有一天可以真正解决第三次数学危机，甚至建立起一座新的数学大厦。
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