本文主要内容:通过实际例子介绍函数单调性判断和单调区间的求解。

例题1:

讨论y=e^x-x-3的单调性。

解:y=e^x-x-3,则y´=e^x-1.

令y´=0,则x=0.判断导数的符号为:

(1)当x≥0时,y´≥0,此时函数为增函数,

函数的增区间为[0, ∞);

(2)当x<0时,y´<0,此时函数为减函数。

函数的减区间为(-∞,0)。

例题2:

讨论函数f(x)=3x^3-5x^2 1的单调性。

解:y=3x^3-5x^2 1,

y´=9x^2-10x=x(9x-10).

令y´=0,即x1=0,x2=10/9,则:

(1)当x∈(-∞,0],[10/9, ∞)时,y´≥0,

此时函数为增函数,该区间为函数的增区间;

(2)当x∈(0,10/9)时,y´<0,

此时函数为减函数,该区间为函数的减区间。

例题3:

判断y=(4/3)x^3 (3/2)x^2的单调性。

解:y=(4/3)x^3 (3/2)x^2,

y´=4x^2 3x=x(4x 3).

令y´=0,即x1=-3/4,x2=0,则:

(1)当x∈(-∞,-3/4],[0, ∞)时,y´≥0,

此时函数为增函数,该区间为函数的增区间;

(2)当x∈(-3/4,0)时,y´<0,

此时函数为减函数,该区间为函数的减区间。

函数单调区间的求法及应注意问题:函数单调性与单调区间例题解析(1)

例题4:

求函数f(x)=(x 3)(x 6)^(2/3)的单调区间。

解:y=(x 3)(x 6)^(2/3).

y´=(x 6)^(2/3) (2/3)(x 3)(x 6)^(-1/3)

=(1/3)(x 6)^(-1/3)*(5x 24).

令y´=0,即x1=-24/5,又x2=-6处导数不存在,则:

(1)当x∈(-∞,-6],(-24/5, ∞)时,y´≥0,

此时函数为增函数,该区间为函数的增区间;

(2)当x∈(-6,-24/5)时,y´<0,此时函数为减函数。

例题5:

求f(x)=x^2(x-4)^2的单调区间。

解:y=x^2(x-4)^2,

y´=2x(x-4)^2 2x^2(x-4)=2x(x-4)(2x-4).

令y´=0,即x1=0,x2=2,x3=4则:

(1)当x∈(0,2],(4, ∞)时,y´>0,

此时函数为增函数,该区间为函数的增区间;

(2)当x∈(-∞,0],[2,4]时,y´≤0,

此时函数为减函数,该区间为函数的减区间。

例题6:

讨论y=(x-1)3√x^2的单调性。

解:y=(x-1)x^(2/3).

y´=x^(2/3) (2/3)(x-1)x^(-1/3)

=(1/3)x^(-1/3)*(5x-2).

令y´=0,即x1=2/5,又x2=0处导数不存在,则:

(1)当x∈(-∞,0),[2/5, ∞)时,y´≥0,

此时函数为增函数,该区间为函数的增区间;

(2)当x∈(0,2/5)时,y´<0,此时函数为减函数。

​方法归纳:

通过上述例子,可见此类型讨论函数的单调性或求函数的单调区间,主要步骤为:

1.求函数的一阶导数。

2.由一阶导数为0,求解函数的驻点,同时注意导数不存在的点。

3.以函数的驻点、导数不存在的点,并结合函数的定义域,判断函数导数与0的关系,即可得到函数的单调性和单调区间。

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