原创 林根数学 林根数学 2022-03-15 11:24
e,作为数学常数,是自然对数函数的底数.有时称它为欧拉常数,以瑞士数学家欧拉命名；实际上，第一次堤到常数e是约纳皮尔（John Napier)于1618年出版的对数著作附录中的一张表，对，这个Napier就是发明对数的那个人，但他没有记录这常数，只有以它为底计算的一张对数表。有意思的是，历史上是先有的对数，后来才发现对数与指数的关系，与现行教材次序恰好相反。实际上，直到1770年，欧拉才第一个指出“对数源于指数”，这时对数和指数已经发明一百多年了。
第一次把e看为常数的是雅各伯努利（Jacob Bernoulli)，但没有证明.已知的第一次用到e的是戈特弗里德·威廉·莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz）于1690年和1691年的通信中有所提及，但以e表示常数是1727年欧拉开始的。
那么，欧拉发现了这个自然常数e的呢？当时，欧拉试图解决由另一位数学家雅各布·伯努利（Jakob Bernoulli）在半个世纪前提出的问题：假设在银行存了1元，而银行提供的年利率是100%,也就是说1年后连本带息，你会得到2块钱。那么现在假设半年就计算一次利息，半年利率为50%即0.5，这种方案年中计息一次是本息一共1 1×0.5=1.5元，然后下半年连本带息年末就为(1 0.5)2=2.25元，这样就是一年2.25块钱。那现在计算利率周期如果再短一些会怎么？再来假设每个月结算一次，月利率为1/12，本息计算(1 1/12)12最终得到大约2.61304块钱。看起来是利息的周期越短，收益就更好。不过雅各布.伯努利发现随着n趋于无穷，对于这样的连续复利存在着一个极限值。
这个极限由50年后的欧拉计算出来小数点后18位:
e=2.71828182845904523，当时Euler的计算已是当代的极限,但现代计算机可以毫无困难地得到e= 2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 6624977572 47093 69995 95749 66967 62772 40766 30353 54759 45713 82178 52516 64274…….
这在微积分的任何一本教程都能找到证明,用的单调有界的数列必存在极限.
它有另外的极限形式:
实际上，在数的发展史中，几何发现往往是第一推动力，比如，π，√2的发现等，
e的发现虽然不是由几何开始，但也可以有下面的几何解释:
设n个相同的长方形ABCD构成的长方形为ABEF,并设AB=x,BE=y,则有x2=n,y2=n(n 1),(y/n)2=1 1/n,
顺变说一下，e的无理性和超越性都很难证，直到1873年法国数学家埃尔米特（Charles Hermite）才证明了e的超越性.但直到目前ee的超越性并不清楚。这些是数论的范畴,也比较艰深.
其实,e在数论,特别在素数分布中有着神奇的存在:
所有大于2的2n形式的偶数存在以e为中心的共轭奇数组，每一组的和均为2n，而且至少存在一组是共轭素数。可以说是素数的中心轴，只是奇数的中心轴。
自然常数也和质数分布有关。有某个自然数a，则比它小的质数就大约有个。在a较小时，结果不太正确。但是随着a的增大，这个定理会越来越精确。这个定理叫素数定理，由高斯发现。
e在近代几何中有着诡异的表现，首先来看在完全图中的e的表现:
在图论的数学领域，完全图是一个简单的无向图，其中每对不同的顶点之间都恰连有一条边相连。完整的有向图又是一个有向图，其中每对不同的顶点通过一对唯一的边缘（每个方向一个）连接。n个端点的完全图有n个端点以及n(n − 1) / 2条边，以Kn表示。它是(k -1)-正则图。所有完全图都是它本身的团（clique）。
图形理论本身以莱昂哈德欧拉于1736年在Königsberg七桥的工作开始。然而，完全图的绘图，其顶点放置在正多边形的点上，已经在13世纪中出现。这样的绘画有时被称为神秘玫瑰。
设完全图内的路径总数为W，哈密顿路总数为h，则
W/h=e.③
此规律更证明了e并非故意构造的，e甚至也可以称呼为是一个完全率。与圆周率有一定的相类似性，好像极限完全图就是图论中的圆形，哈密顿路就是直径似的，自然常数的含义是极限完全图里的路径总数和哈密顿路总数之比。
再看e在凸体中的表现:
自Bartos在1968引入顶点角概念,蒋星耀在1987年证明了，任何n维单形Ωn的n 1个顶点角均成立不等式
此表明
至于e的级数表达式是常见的:
这个证明，任何一本高数的书上都有，就是Taylor公式的特例。
到于e和复数的联系，以下公式非常有名，被陶哲轩，张益唐推崇。
这个等式神奇的地方在于，把高数中常用的三个著名的数e, i ,π 联系到了一起，虚实相间，实虚运算最后归实，符合哲理和思辨。
类似的例子还能举出一些，也是挺有意思的表达。
1719年，意大利数学家法格纳诺（Fagnano）得到
1997年，中国的建筑师李明波得到
这个式子下面的一些等价形看起更好些。
比较不常见的是拉马努金（汉语：斯里尼瓦瑟·拉马努金=泰米尔语：ஸ்ரீனிவாஸராமானுஜன்ஐயங்கார்=英语：SrinivasaRamanujan），
这是一个连分数的表达，在1913年，拉马努金给英国著名数学家哈代（Hardy）去了一封长达9页的信，信中附带了120条拉马努金自己发现的公式，上面这个公式就是其中的一条。这些公式没有证明过程，据说大部分是拉马努金心算求得，只是拉马努金短暂的一生令人唏嘘，有关拉马努金的故事可能参考电影《知无涯者》.
影片中详细介绍了他给出了整数n的分拆函数P(n)的估计式，并证明了P(n)的渐近公式。这个公式从发现、证明、再到被数学家们认同经历了很长时间的痛苦。他的工作对后来的数学家影响很大。
拉马努金惯以直觉导出公式，不喜作证明，然而事后往往证明他是对的。他留下的那些没有证明的公式，引发了后来的大量研究。
电影中还有一个非常有趣的片段，就是1729的故事，他与哈代一次乘坐1729牌号出租，他告诉哈代这是个有趣的数字，因为1729可以用两个立方之和来表达而且有两种表达方式的数之中，1729是最小的。(即1729= 13 123= 93 103，后来这类数称为的士数。)电影末尾（拉马努金去世后），哈迪与友人乘坐出租时，他把刚上车的友人从出租上拽下来去乘坐后一辆出租，它的牌号就是1729。
最后说一下,e在概率论中也有着神奇的应用，比如，维基百科中提到的“Derangements”问题：
将n个帽子，随机放入n个位置，假设每个帽子有一个预先设定的正确位置，那么所有帽子全都“入错”位置的概率是多少。我觉得，这和有n个整数，假定1,2,3,...,n。从小到大是一个自然的正确顺序，那么将这n个数打乱随机排列，那么每一个数都跑到“其他人”的位置上的概率是多少？
可以有如下解法：首先n个数有n!种排列，其中全都对就一种，其概率为1/n!。
除去全错误后的排列数为：
则有
显然有
此表明，这个概率的当n取不同的奇偶数值时，围绕1/e来回摆动。
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