主要内容：
本文详细介绍通过代入法、三角换元法、判别式法、中值替换法、不等式法、构造函数等方法计算ab在a 21b=√2条件下的最大值。
根据已知条件，替换b，得到关于a的函数，并根据二次函数性质得ab的取值范围。
ab
=a(√2/21-1/21*a)
=-1/21*a^2 √2/21*a
=-1/21(a-√2/2)^2 1/42，
则当a=√2/2时，ab有最大值为1/42。
思路二：判别式法设ab=p，得到b=p/a,代入已知条件关于a的函数，并根据二次函数性质得ab的取值范围。
a 21b=√2,
a 21p/a=√2,
a^2-√2a 21p=0,对a的二次方程有：
判别式△=2-84p≥0,即：
p≤1/42,
此时得ab=p的最大值=1/42。
将ab表示成三角函数，进而得ab的最大值。
由a 21b=√2，要求ab的最大值，不妨设a，b均为正数，
设a=√2(cost)^2，21b=√2(sint)^2，则：
a=√2(cost)^2,b=√2/21(sint)^2,代入得：
ab=√2(cost)^2*√2/21(sint)^2,
=1/42*(sin2t)^2,
当sin2t=±1时，ab有最大值=1/42。
设a=√2/2 t,21b=√2/2-t，则：
a=(√2/2 t),b=(1/21)(√2/2-t)
此时有：
ab=1/21*(√2/2 t)*(√2/2-t)
=1/21*(1/2-t^2)。
当t=0时，即：ab≤1/42,
则ab的最大值为1/42。
当a，b均为正数时，则：
∵a 21b≥2√21*ab,
∴(a 21b)^2≥84*ab,
2≥84*ab,
即：ab≤1/42,
则ab的最大值为1/42。
设函数f(a,b)=ab-λ(a 21b-√2),
则偏导数f'a=b-λ,f'b=a-21λ,
f'λ=a 21b-√2。
令f'a=f'b=f'λ=0，则：
b=λ,a=21λ。进一步代入得：
21λ 21λ=√2,即λ=√2/42.
则有a=√2/2,b=√2/42.
ab的最大值=√2/2*√2/42=1/42。,
