在电子通信领域，会用到很多二进制和“模2”运算。什么是“模”？与“进制”有什么不同？为什么需要使用模运算？
1、什么是进制？
“进制”就是数数（数一下有几本书）和计算时的一种“进位制度”系统。这个系统是人为制定的。
我们日常生活中使用的是“十进制”，电子通信领域大量使用“二进制”。
一种“进制”需要有一些规则，这些规则综合构成“进位制度”系统：
① 从0递增，每次递增都按照加1计算；（这是四则运算的前提）
② 可以递增到无限大；
③ 递增过程中，数字的位数随着“进制”增加；（构成一个数字的位，叫做权）
④ 数字只有一位的时候，这些数字被称作“进制”的基数；
⑤ 每种进制都有自己独有的“按进制”计算规则，也就是“进位”规则。
这5条规则是构成一种计数系统的前提。通常，最引人关注的规则就是“进位”规则。其他规则较少被注意到。但是，实际上，这5条规则中的任何一种规则被改变，都能产生一种新的计数系统。
如果仅有“进位”规则发生变化，其他规则不变，就会产生很多种“进制”，比如二进制、3进制、7进制甚至371进制。一般用到的是二进制。
可以认为：所有的其他“进制”都是十进制演变出来的，计数习惯和运算习惯都沿用十进制。
常见的十进制和二进制计算
上图的计算方法众所周知。但是如果跟“模运算”相比较的话，会发现很大不同。
2、什么是“模”？“模”和“进制”有什么不同？
如果说十进制是一个计数世界的话，二进制是另一个规则类似的子计数世界。构成两者的5条规则中，只有具体的基数和逢基进位是不同的，其他都相同。如果将第②条规则“可以递增到无限大”，改变成“仅可以递增到某个有限大的值”就产生了另一种计数世界，这就是“模”。
“模”，是一个比较“令人感到陌生”的名词，但是在生活中却很早就普遍使用了。如钟表的表盘。时间的长度是无限的，如果想把无限的时间长度数值放进表盘有限的刻度上，有一个简单的办法，就是让表示时间长度的数值不停地归0。
这个表盘数字世界就是“模12”。数字从0开始加1递增，递增到12，不进位而是归零。这与进制的处理方法截然相反。也是“模”与“进制”的最突出的区别。
从0到11的数字是十进制数字，可以称为“模元”，而数字12可以称为“模值”。（如果有相关的著作对这些名词有更加合适的称谓，请自行转换。）
模元可以是十进制数字，也可以是二进制或者其他进制数字。
模元之间的递增方式也可以不是按照加1递增。如果是这样的话，按模运算会与常规的运算不同。
至此，关于“模”的概念应该有一个大致的总结：
① “模”是一种数学计数系统，或者说一种计数模型；
② 模值可以按照自己的需要自由指定；
③ 模元可以是任何进制数字，递增方式可以不是加1递增；
④ 模内，数字递增到模值，不会进位，而是归零，重新递增。
用语言来描述的话，“模”就是一个封闭的圆形计数系统。
模与进制的区别是：
模，满则归零；
进制，满则溢出。
如何把任何一个数字放进已经定义好的模中呢？
把十进制数字215放在模12内：
就说215在模12内等于11。这个方法可以是定义模的办法。但是这样建立的模有两个前提条件：从0开始计数，每次按照加1递增。
如果模元不是从0开始，模元不按照递增排序，或者按照加某个数值递增，除模取余方法可能需要做一些改变。这种情况出现在某些编码中。
3、模运算原理
先看模12运算。
在模12中，
5 4=9；
5-8=9。
可以说，4和8是互补的。这也是二进制中“补数”的含义。
7乘以8，可以理解为从0点开始，指针顺时针走8次，每次走7格，最后指针指向数字8点。所以模12的7×8=8。
按模除法一般用于把任意数字放入定义好的模中，实际的用途类似于钟表的用途。
最简单的是“模2”。用一个表盘来描述模运算。
模2加：
0 1=1；指针从0点顺时针走1格，指向1点。
1 0=1；指针从1点顺时针走0格，指向1点。
0 0=0；
1 1=0；指针从1点顺时针走1格，指向0点。
由此定义了一种逻辑运算：异或。异或的运算符号为
，比较形象，意味着在一个圆圈内进行的加法运算。
模2加法的特点可以描述为：
不同得1，相同得0。在编码中大量应用。
模2减：
0-1=1；指针从0点逆时针走1格，指向1点。
1-0=1；指针从1点逆时针走0格，指向1点。
0-0=0；
1-1=0；指针从1点逆时针走1格，指向0点。
可以看出，模2减和模2加，结果完全一样。所以在计算模运算的除法时，常常用加法直接代替减法。编码中我们只能看到模2加，看不到模2减，就是这个原因。
模2乘：
0×0=0；指针从0点顺时针走0次0格，指向0点。
0×1=0；指针从0点顺时针走1次0格，指向0点。
1×0=0；指针从0点顺时针走0次1格，指向0点。
1×1=1。指针从0点顺时针走1次1格，指向1点。
这就是逻辑“与”运算。和十进制的乘法思路一样。
模2除：
0÷1=0；
1÷1=1。
可以看出，以2为模，其实模元并不是二进制，而是在十进制基础上定义的一种模。只不过模2比较特殊。
一种比较特殊的按模除法，在二进制基础上定义的模。如二进制数字1100100除以1011定义的一种二进制模，模值为1011。应该称之为“模1011”。如果把1100100放进这个模内，对应的模元就是除法的余数：
可以看出，二进制的按模计算不同于十进制的按模计算。二进制的按模计算过程中，对每一位使用“模2运算”。那么为什么要使用“模2运算”呢？
前面说了，模是一种为了实现某种目的人为定义的计数系统，按模计算方法也是人为定义的。在编码的过程中，可以不使用模2加法进行按模计算，但是如果统一使用模2加法能够让按模运算具有某些特殊性质，还能够大幅度降低硬件或软件的难度，为什么不用呢？
伟大的科学家发现了按模运算的一种特殊性质：
如果一个二进制数字T（x）以xn 1为模，每次T（x）按照乘2递增，则模xn 1内的模元是一组循环码组。
xn 1是一种二进制数的多项式表示法。表示二进制数字有n 1位，最高位和最低位都是1，其他位都是0。
这条性质能够用来建立CRC编码。如以10001为模值，建立一个模。用10011做被除数进行模运算：
