结论1：如图1，⊙O是∆ABC的内切圆，连接BO，CO，则∠BOC=∠A
图1
略证：
∵∠BOC ∠1 ∠2=
∠A 2∠1 2∠2=
∴ ∠1 ∠2=∠A
∴ ∠BOC=∠A
例、如图2，∆ABC中，AB＝AC，∠A为锐角，CD为AB边上的高， O为∆ACD的内切圆圆心，则∠AOB的度数是（ ）
A．120° B．125°
C．135° D．150°
图2
分析：
∵ O为∆ACD的内切圆圆心
∴ AO平分∠BAC
∠AOC=
∵ AB=AC
∴ ∆ABC关于AO对称
∴ ∠AOB=∠AOC=
故 选择C
结论2：如图3，⊙O是∆ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，连接DE、DF、OE、OF，则∠EDF=
图3
略证： ∵ E、F是切点
∴ OE⊥AC，OF⊥AB
∴ ∠OEA=∠OFA=
∴ ∠EOF ∠A=
即 ∠EOF=∠A
∠EDF=
例、如图4，⊙O是∆ABC的内切圆，D、E、F为三个切点，若∠DEF=52°，则∠A的度数为（ ）
A．76° B．68° C．52° D．38°
图4
分析：由∠EDF=得∠A=，所以选择（A）
结论3：如图5，⊙O是∆ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，BC=a，AC=b，AB=c，且设s=，则 AE=AF=s-a，BD=BF=s-b，CD=CE=s-c。
图5
略证：设AE=AF=x、BD=BF=y、CD=CE=z， 则 x y=c，y z=a，z x=b， 联解这3个方程可得结论3
例、如图6，⊙O为∆ABC的内切圆，分别切BC、AC于点D、E，AC=9，AB=8，BC=10，点M、N分别为BC、AC上的点，且MN为⊙O的切线，切点为G，则∆CMN的周长为 ▲
图6
分析：∵ BC、AC、MN都是⊙O的切线
∴ CD=CE MD=MG NE=NG
∴ CM MN CN=2CD=2CE
由结论3得
CD=CE=(9 8 10)-8=5.5
∴ ∆CMN的周长为11
结论4：如图7，⊙O是∆ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，BC=a，AC=b，AB=c，⊙O的半径为r，则
图7
略证：可由∆ABC的面积等于∆OBC、∆OAB、∆OAC的面积和证得
例、如图8，在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=16，点0为△ABC的内心，点M为斜边AB的中点，则OM的长为 ▲
图8
分析：
过O作ON⊥AB，垂足为N
则 ON是内切圆的半径，N为切点
∵
=
∴ OM=10
由结论4可求得 ON=4
又由结论3可求得 AN=8
∴ MN=AM-AN=10-8=2
∴OM=
结论5：如图9，Rt△ABC的内切圆⊙O与BC、AC分别相切于点D、E，AB=c，BC=a，AC=b，则
（1）四边形OECF是正方形；
（2）
(3)
图9
略证：（1）可由切线的性质证得，（2）由结论4可推得，（3）由结论3可推得
例、如图10，在平面直角坐标系中有一正方形AOBC，反比例函数经过正方形AOBC对角线的交点M，半径为的⊙N内切于△ABC，则k的值为 ▲
图10
分析：设正方形的边长为a，
则AC=BC=a，AB=a
则
∴ a=4
∴ 点C的坐标为（4,4）
∴ 点M的坐标为（2,2）
∴ k=4
小结：与三角形内切圆相关的结论比较多，熟练应用这些结论可以很方便地解答相关的选择题和填空题，从而为平时的学习和考试赢得时间。
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