小学奥数五年级数论问题（小学奥数数论）

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小学奥数－数论

1、奇偶；

2、整除；

3、余数；

4、质数合数‘

5、约数倍数；

6、平方；

7、进制；

8、位值。

一、 奇偶：

一个整数或为奇数，或为偶数，二者必居其一。

奇偶数有如下运算性质：

（1）奇数±奇数=偶数 偶数±偶数=偶数

奇数±偶数=奇数 偶数±奇数=奇数

（2）奇数个奇数的和（或差）为奇数；偶数个奇数的和（或差）为偶数，任意多个偶数的和（或差）总是偶数。

（3）奇数×奇数=奇数 偶数×偶数=偶数

奇数×偶数=偶数

（4）若干个整数相乘，其中有一个因数是偶数，则积是偶数；如果所有的因数都是奇数，则积是奇数。

（5）偶数的平方能被4整队，奇数的平方被4除余1。

上面几条规律可以概括成一条：几个整数相加减，运算结果的奇偶性由算式中奇数的个数所确定；如果算式中共有偶数（注意：0也是偶数）个奇数，那么结果一定是偶数；如果算式中共有奇数个奇数，那么运算结果一定是奇数。

二、 整除：

掌握能被30以下质数整除的数的特征。

被2整除的数的特征为：它的个位数字之和可以被2整除.

被3（9）整除的数的特征为：它的各位数字之和可以被3（9）整除。 被5整除的数的特征为：它的个位数字之和可以被5整除。

被11整除的数的特征是：它的奇位数字之和与偶位数字之和的差（大减小）能被11整除。

下面研究被7、11、13整除的数的特征。有一关键性式子：7×11×13=1001。 判定某数能否被7或11或13整除，只要把这个数的末三位与前面隔开，分成两个独立的数，取它们的差（大减小），看它是否被7或11或13整除。 此法则可以连续使用。

例：N=987654321.判定N是否被11整除。

因为654不能被11整除，所以N不能被11整除。

例：N＝215332.判定N是否被7、11、13整除。

1

由于117＝13×9，所以117能被13整除，但不能被7、11整除，因此N能被13整除，不能被7、11整除。

此方法的优点在于当判定一个较大的数能否被7或11或13整除时，可用减法把这个大数化为一个至多是三位的数，然后再进行判定。

被17、19整除的简易判别法.回顾对比前面，由等式1001＝7×11×13的启发，才有简捷的“隔位相减判整除性”的方法。对于质数17：17×59=1003， 因此，判定一个数可否被17整除，只要将其末三位与前面隔开，看末三位数与前面隔出数的3倍的差（大减小）是否被17整除。

例：N=31428576，判定N能否被17整除。

而429=25×17 4，所以N不能被17整除。

例：N＝2661027能否被17整除？

又935=55×17。

所以N可被17整除。

下面来推导被19整除的简易判别法。

寻找关键性式子： 19×53=1007.

因此，判定一个数可否被19整除，只要将其末三位与前面隔开，看末三位与前面隔出数的7倍的差（大减小）是否被19整除。

例：N＝123456789可否被19整除？

又603＝31×19 14，所以N不能被19整除。

例：N=6111426可否被19整除？

2

又57=3×19，所以N可被19整除：321654×19=6111426。

下面来推导被23、29整除的简易判别法。

寻找关键性式子，随着质数增大，简易法应该在N的位数多时起主要作用，现有

23×435＝10005，29×345=10005，

因此，判定一个数可否被23或29整除，只要将其末四位与前面隔开，看末四位与前面隔出数的5倍的差（大减小）是否被23或29整除。

例：N＝6938801能否被23或29整除？

又5336＝23×232＝23×29×8，

所以很快判出N可被23及29整除。

三、余数

三大余数定理：

（1）余数的加法定理

a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23 16＝39除以5的余数等于4，即两个余数的和3 1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。

例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23 19＝42除以5的余数等于3 4=7除以5的余数为2

（2）余数的减法定理

a与b的差除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之差。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23－16＝7除以5的余数等于2，两个余数差3－1＝2.

当余数的差不够减时时，补上除数再减。

例如：23，14除以5的余数分别是3和4，23－14＝9除以5的余数等于4，两个余数差为3＋5－4＝4

（3）余数的乘法定理

a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于 3×1＝3。

当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。 3

例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2.

乘方：如果a与b除以m的余数相同，那么a与b除以m的余数也相同．

（4）应用 ：弃九法、同余定理

应用一、弃九法原理

在公元前9世纪，有个印度数学家名叫花拉子米，写有一本《花拉子米算术》，他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行，由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确，他们的检验方式是这样进行的：

例如：检验算式1234189818922678967178902889923

1234除以9的余数为1

1898除以9的余数为8

18922除以9的余数为4

678967除以9的余数为7

178902除以9的余数为0

这些余数的和除以9的余数为2

而等式右边和除以9的余数为3，那么上面这个算式一定是错的。

上述检验方法恰好用到的就是我们前面所讲的余数的加法定理，即如果这个等式是正确的，那么左边几个加数除以9的余数的和再除以9的余数一定与等式右边和除以9的余数相同。

而我们在求一个自然数除以9所得的余数时，常常不用去列除法竖式进行计算，只要计算这个自然数的各个位数字之和除以9的余数就可以了，在算的时候往往就是一个9一个9的找并且划去，所 以这种方法被称作“弃九法”。

所以我们总结出弃九法原理：任何一个整数模9同余于它的各数位上数字之和。 以后我们求一个整数被9除的余数，只要先计算这个整数各数位上数字之和，再求这个和被9除的余数即可。

利用十进制的这个特性，不仅可以检验几个数相加，对于检验相乘、相除和乘方的结果对不对同样适用

注意：弃九法只能知道原题一定是错的或有可能正确，但不能保证一定正确。 例如：检验算式9 9=9时，等式两边的除以9的余数都是0，但是显然算式是错误的。

但是反过来，如果一个算式一定是正确的，那么它的等式2两端一定满足弃九法的规律。这个思想往往可以帮助我们解决一些较复杂的算式谜问题。

应用二、同余定理：若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。同余式读作：a同余于b，模m。

同余定理重要性质及推论：若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则

（1711）a，b的差一定能被m整除。例如：17与11除以3的余数都是2，所以能nn

被3整除．

（用式子表示为：如果有a≡b ( mod m )，那么一定有a－b＝mk,k是整数，即m|(a－b)

4

余数判别法

当一个数不能被另一个数整除时，虽然可以用长除法去求得余数，但当被除位数较多时，计算是很麻烦的．建立余数判别法的基本思想是：为了求出“N被m除的余数”，我们希望找到一个较简单的数R，使得：N与R对于除数m同余．由于R是一个较简单的数，所以可以通过计算R被m除的余数来求得N被m除的余数．

1) 整数N被2或5除的余数等于N的个位数被2或5除的余数；

2) 整数N被4或25除的余数等于N的末两位数被4或25除的余数；

3) 整数N被8或125除的余数等于N的末三位数被8或125除的余数；

4) 整数N被3或9除的余数等于其各位数字之和被3或9除的余数；

5) 整数N被11除的余数等于N的奇数位数之和与偶数位数之和的差被11除的余数；（不够减的话先适当 加11的倍数再减）；

6) 整数N被7，11或13除的余数等于先将整数N从个位起从右往左每三位分一节，奇数节的数之和与偶数节的数之和的差被7，11或13除的余数就是原数被7，11或13除的余数．

四、质数与合数

（1）质数与合数定义

一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数（也叫做素数）。 一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。

要特别记住：1不是质数，也不是合数。

常用的100以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共计25个。

（2）质因数与分解质因数

如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。 把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。

例：把30分解质因数。

解：30＝2×3×5。

其中2、3、5叫做30的质因数。

又如12＝2×2×3＝22×3，2、3都叫做12的质因数。

（3）部分特殊数的分解

111337；100171113；1111141271；1000173137；

199535719；1998233337；200733223；

2008222251；10101371337.

（4）判断一个数是否为质数的方法

根据定义如果能够找到一个小于p的质数q(均为整数)，使得q能够整除p，那么p就不是质数，所以我们只要拿所有小于p的质数去除p就可以了；但是这样的计算量很大，对于不太大的p，我们可以先找一个大于且接近p的平方数K2，再列出所有不大于K的质数，用这些质数去除p，如没有能够除尽的那么p就为质数.

例如：149很接近1441212，根据整除的性质149不能被2、3、5、7、11整除，所以149是质数。

5

五、约数和倍数

（1）求最大公约数的方法

①分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来．

22例如：2313711，252237，所以(231,252)3721；

21812

396

32，所以②短除法：先找出所有共有的约数，然后相乘．例如：

(12,18)23；6

③辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数．用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数是0为止．那么，最后一个除数就是所求的最大公约数．(如果最后的除数是1，那么原来的两个数是互质的)．

例如，求600和1515的最大公约数：15156002315；6003151285；315285130；28530915；301520；所以1515和600的最大公约数是15．

（2） 最大公约数的性质

①几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数；

②几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数；

③几个数都乘以一个自然数n，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以n．

（3）求一组分数的最大公约数

先把带分数化成假分数，其他分数不变；求出各个分数的分母的最小公倍数a；

b

求出各个分数的分子的最大公约数b；a即为所求．

（4）求一个数约数的个数

分解质因数，之后将不同质因数的次数均加1，之后相乘。所得结果就是这个数

22不同约数的个数。如：252237，则252的不同约数的个数为

(21)(21)(11)33218

（5）求最小公倍数的方法

①分解质因数的方法；

22231,252223271127722313711252237例如：，，所以；

②短除法求最小公倍数；

6

12

396

32 ，所以18,12233236； ab

(a,b)． 例如：[a,b]

③

（6）最小公倍数的性质

①两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数．

②两个互质的数的最小公倍数是这两个数的乘积．

③两个数具有倍数关系，则它们的最大公约数是其中较小的数，最小公倍数是较大的数．

六、平方

1、完全平方数特征

（1）完全平方数的尾数只能是0，1，4，5，6，9。不可能是2，3，7，8。

（2）在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。

（3）完全平方数的约数个数是奇数，约数个数为奇数的自然数是完全平方数。

（4）若质数p整除完全平方数a，则p能被a整除。

2、性质

性质1：完全平方数的末位数字只可能是0，1，4，5，6，9．

性质2：完全平方数被3，4，5，8，16除的余数一定是完全平方数．

性质3：自然数N为完全平方数自然数N约数的个数为奇数．因为完全平方数的质因数分解中每个质因数出现的次数都是偶数次，所以，如果p是质数，n

2n12np|Np|N． 是自然数，N是完全平方数，且，则2

性质4：完全平方数的个位是6它的十位是奇数．

性质5：如果一个完全平方数的个位是0，则它后面连续的0的个数一定是偶数．如果一个完全平方数的个位是5，则其十位一定是2，且其百位一定是0，2，6中的一个．

性质6：如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间，则它不是完全平方数．

3、 一些重要的推论

（1）任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的数一定不是完全平方数。

（2）一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。

（3）自然数的平方末两位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69，89，16，36，56，76，96。

（4）完全平方数个位数字是奇数（1，5，9）时，其十位上的数字必为偶数。

（5）完全平方数个位数字是偶数（0，4）时，其十位上的数字必为偶数。

（6）完全平方数的个位数字为6时，其十位数字必为奇数。

（7）凡个位数字是5但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数；末尾只有奇数个“0”的自然数不是完全平方数；个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的 7

自然数不是完全平方数。

22ab(ab)(ab) 4、 重点公式回顾：平方差公式：

七、进制

1、（1）十进制：

我们常用的进制为十进制，特点是“逢十进一”。在实际生活中，除了十进制计数法外，还有其他的大于1的自然数进位制。比如二进制，八进制，十六进制等。

（2）二进制：

在计算机中，所采用的计数法是二进制，即“逢二进一”。因此，二进制中

123只用两个数字0和1。二进制的计数单位分别是1、2、2、2、„„，二进制数

也可以写做展开式的形式，例如100110在二进制中表示为：(100110)2=1×25 0×24 0×23 1×22 1×21 0×20。

二进制的运算法则：“满二进一”、“借一当二”，乘法口诀是：零零得零，一零得零，零一得零，一一得一。

注意：对于任意自然数n,我们有n0=1。

（3）k进制：

（k1）一般地，对于k进位制，每个数是由0，1，2，，共k个数码组成，

kk1）且“逢k进一”．（进位制计数单位是k，k，k，．如二进位制的计数单012

位是20，21，22，，八进位制的计数单位是8，8，8，．

（4）k进位制数可以写成不同计数单位的数之和的形式

（anan1nn1a1a0）kankan1k012a1ka0

a0100； nn1十进制表示形式：Nan10an110nn1Na2a2nn1二进制表示形式：a020；

为了区别各进位制中的数，在给出数的右下方写上k，表示是k进位制的数

（3145）（352）（1010）12,分别表示八进位制，二进位制，十二进位制中的数．8，2，如：

（5）k进制的四则混合运算和十进制一样

先乘除，后加减；同级运算，先左后右；有括号时先计算括号内的。

2、 进制间的转换：

一般地，十进制整数化为k进制数的方法是：除以k取余数，一直除到被除数小于k为止，余数由下到上按从左到右顺序排列即为k进制数．反过来，k进制数化为十进制数的一般方法是：首先将k进制数按k的次幂形式展开，然后按十进制数相加即可得结果．

如右图所示:

8

八、位值

1、位值原理的定义：

同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数值也不同。也就是说，每一个数字除了有自身的一个值外，还有一个“位置值”。例如“2”,写在个位上，就表示2个一，写在百位上，就表示2个百，这种数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原理。

2、 位值原理的表达形式：

以六位数为例：abcdefa×100000 b×10000 c×1000 d×100 e×10 f。

3、 解位值一共有三大法宝：

（1）最简单的应用解数字谜的方法列竖式

（2）利用十进制的展开形式，列等式解答

（3）把整个数字整体的考虑设为x，列方程解答

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