我们的数学课本给出了常用函数求导的数学过程和结果,但其过程包含的优美的数学规律却很少体现,本篇我们就以指数函数为例来发现数学的美

如下是一个有关2为底的指数函数:2^t,我们在这里研究下它的导数所蕴含的数学规律

高等数学隐函数求导典型例题(指数函数的求导原理所包含的数学奥秘)(1)

根据函数的求导原理,2^t的导数的表达式就是

高等数学隐函数求导典型例题(指数函数的求导原理所包含的数学奥秘)(2)

以及2^t导数所表示的切线斜率就是

高等数学隐函数求导典型例题(指数函数的求导原理所包含的数学奥秘)(3)

我们将2^(t dt)进行整合,如下图可以分拆为2^t 和2^dt

高等数学隐函数求导典型例题(指数函数的求导原理所包含的数学奥秘)(4)

我们将2^t提取出来,如下图,我们现在要解决的就是等式右边括号内的式子

高等数学隐函数求导典型例题(指数函数的求导原理所包含的数学奥秘)(5)

这是本篇的重点,我们假设dt=0.001,那么其结果等于

高等数学隐函数求导典型例题(指数函数的求导原理所包含的数学奥秘)(6)

我们将上述dt继续缩小100倍,其结果仍是0.693……那么这个值是不是一个常数呢?

高等数学隐函数求导典型例题(指数函数的求导原理所包含的数学奥秘)(7)

为了验证我们的猜测,我们继续将上述dt缩小1000倍,结果仍然是0.693……只是不断地趋于一个常数

高等数学隐函数求导典型例题(指数函数的求导原理所包含的数学奥秘)(8)

所以我们可以肯定2^t的导数就是2^t乘以一个常数,这是所有指数函数都有的特性

高等数学隐函数求导典型例题(指数函数的求导原理所包含的数学奥秘)(9)

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