立体几何中的最值问题常以哪些思路进行分析?既然有最值,则就有未知的数值,这种数值若从函数角度分析可能是某条未知的线段,某个未知的角度,若从几何的角度分析,可能是某个点的特定位置,或类似于蚂蚁爬盒子之类的两点之间直线最短,又或者是两条异面直线最短距离的公垂线等等,动态最值问题是立体几何中综合性和难度较强的一类问题,与此类似的是动态定值问题,这个以后再说,常见的题型如下:

1.距离或线段长的最值,例如某年高考真题中的爬盒子问题,或求异面直线之间的距离问题。

2.线段之和的最值,最常于一个定点和两个动点的距离和问题中,将两个不共面的平面展开成一个平面,利用点到直线的距离求即可。

3.体积或面积的最值,一种情况是能确定出动点在哪个位置时满足体积或面积的最值,第二种情况就是常见的设线段,找未知量的关系,建立函数求最值。

解题时一定要注意动点和定点的联系,从而转化为不定线段和确定线段之间的关系,因为有动点,动点不是乱点,会满足特定的几何关系,因此还需掌握立体几何中动点轨迹判定的相关知识。

时间有限,今天先给出几个与线段或线段之和有关的最值问题,与面积或体积有关的最值问题日后再慢慢给出。

先问一个小知识,假如不与平面α垂直且在平面α外的一个三角形在平面α上的投影永远都是一个直角三角形吗?

当然不是,投影可为直角三角形,钝角三角形或锐角三角形,当直角三角形一个直角边为平面α内或一条直角边与平面α平行时,此时的射影依旧为直角三角形;当直角三角形的斜边在平面α内或与平面α平行时,此时的投影为钝角三角形,这两种情况之外有可能会出现锐角三角形,重点需要注意直角三角形在平面内的射影依旧是直角三角形的情况,证明时可先做出对应的射影图形,再在平面α内作出与原直角三角形全等的三角形,比较两个三角形的形状即可,这里不展开了。

立体几何最值问题的五个策略(立体几何中与长度有关的动态最值问题选题解析)(1)

立体几何最值问题的五个策略(立体几何中与长度有关的动态最值问题选题解析)(2)

题目很容易想到的答案是[0,5],当EF与平面α平行时投影最长,此时投影长度即为EF的长度,当EF与平面α垂直时投影为一个点,此时投影长度为零,但是答案并非如此,当四面体绕着AB旋转时,EF永远不可能与平面α垂直,因此投影也永远不可能是一个点。

若取AC的中点G,可判断出△EFG为直角三角形,且GF//平面α,所以△EFG在平面α上的投影也为直角三角形,且GF//平面α,则GF的投影为定值,长度与GF相等,所以EF在平面α上投影的长度只与EG投影长度有关,当四面体旋转时EF可与平面α垂直,这样根据EG投影长度的最值即可求出EF投影的最值,过程如下:

立体几何最值问题的五个策略(立体几何中与长度有关的动态最值问题选题解析)(3)

立体几何最值问题的五个策略(立体几何中与长度有关的动态最值问题选题解析)(4)

立体几何最值问题的五个策略(立体几何中与长度有关的动态最值问题选题解析)(5)

解读:锥体中的变化量为PD的长度和∠PED的角度,用常规套路确定出球心的位置在EF上,可知在直角三角形PEF中,EF为其中一条直角边,斜边PE的长度确定,设∠PED,根据三角函数即可确定出EF的最大值。

随着P点移动,O点的位置也在EF上移动,根据题目所示,O点在锥体内,则OE<EF,因此可用OE的变动表示出EF的变动,在上图右侧根据余弦值可找到OE和EF长度乘积的定值,稍微放缩一下即可得到EF的最小值,题目的关键是将立体转化为平面三角形,找到其中的变量和定值之间的关系即可。

立体几何最值问题的五个策略(立体几何中与长度有关的动态最值问题选题解析)(6)

[注意求O1E的时候不能直接2:1,千万把重心和外心区分开]

立体几何最值问题的五个策略(立体几何中与长度有关的动态最值问题选题解析)(7)

立体几何最值问题的五个策略(立体几何中与长度有关的动态最值问题选题解析)(8)

解读:之前推送过一篇立体几何中动点的轨迹问题,链接为立体几何中的动点轨迹问题,在本题目中满足MN⊥平面PCE,能初步判断N点的轨迹为平面PCE中的某条线段,这样求AM MN的最小值只需要将两个平面展成同一个平面,利用点到直线的距离即可。

本题目很容易看成是正方体中的一个角,因此通过建立坐标系来解也是一种方法,但是最后AM MN的表达式是一个一次函数加上一个带根式的二次函数的形式,很遗憾没办法求最值,因此题目只能把N点的轨迹找出来。

立体几何最值问题的五个策略(立体几何中与长度有关的动态最值问题选题解析)(9)

因为AB⊥PE,AB⊥CE,则AB⊥平面PCE,取CE的中点O,连接OD,则OD⊥平面PCE,连接PO,作MN//DO,则MN⊥平面PCE,这样就找到了N点的轨迹为线段PO,再把平面POD和平面PAD展开即可。

立体几何最值问题的五个策略(立体几何中与长度有关的动态最值问题选题解析)(10)

立体几何最值问题的五个策略(立体几何中与长度有关的动态最值问题选题解析)(11)

立体几何最值问题的五个策略(立体几何中与长度有关的动态最值问题选题解析)(12)

本题目相对简单,四边形由两个全等的三角形组成,在△BFD1中,底边长BD1已知,只需求点F到BD1距离的最小值即可,因为BD1和CC1为异面直线,只需求出两条异面直线之间的距离即可。

之前推送中给出了射影法求异面直线的距离,链接为:射影法求异面直线之间的距离,因为CC1和BD1在底面ABCD的投影分别为点C和线段BD,可知点C到线段BD之间的距离即为两条异面直线之间的距离,题目不难,过程就不再给出了。

立体几何最值问题的五个策略(立体几何中与长度有关的动态最值问题选题解析)(13)

立体几何最值问题的五个策略(立体几何中与长度有关的动态最值问题选题解析)(14)

解读:本题目的考试意义不大,重点知道怎么把题目中的MN/√2转化为某条线段即可,在所给的条件中若出现一个以MN为斜边的等腰直角三角形,则MN/√2即等价于该等腰直角三角形的直角边,因此找到等腰直角三角形是解题的关键。

立体几何最值问题的五个策略(立体几何中与长度有关的动态最值问题选题解析)(15)

,