利用二次函数图像判断各系数之间的关系，是中考数学的常考题型，因为综合性较高，题目较难，通常放在选择题或者填空题最后一题，作为小题的压轴题。因此，需要各位同学认真熟悉此种题型的解题方法和技巧。
数学学习
一、基本原理：抛物线与系数之间的关系
已知二次函数y=ax2 bx c，（a≠0, a、b、c为各项系数）
1、a与抛物线的开口方向及大小之间的关系
抛物线开口向上 a>0，
抛物线开口向下 a<0，
|a|越大，抛物线的开口越小
|a|越小，抛物线的开口越大
2、a、b决定抛物线的对称轴 以及 二次函数的最大最小值
1）抛物线对称轴的表达式：x= - b/2a
① b=0时，对称轴为x=0，即y轴；
②当a、b同号时，对称轴<0，即对称轴在y轴左侧；
③当a、b异号时，对称轴>0，即对称轴在y轴右侧；
2）二次函数的最值
① 当a>0时，二次函数在x= - b/2a处，取最小值（4ac - b²）/4a
② 当a<0时，二次函数在x= - b/2a处，取最大值（4ac - b²）/4a
3、c即抛物线与y轴的交点
因为对于二次函数y=ax2 bx c，当x=0时，y=c；
C>0 、C=0、C<0 ，抛物线与坐标轴分别交于y轴正半轴、原点、y轴负半轴。
4、△ = b²- 4ac 决定抛物线与x轴的交点个数
① 当△ > 0时，抛物线与x轴有两个交点
② 当△ = 0时，抛物线与x轴有一个交点
③ 当△ <0时，抛物线与x轴无交点
二、数形结合：代入特殊值
在确定了抛物线的开口方向、对称轴、最值，以及与坐标轴的交点后，往往只能解决前面一些较为简单的问题。我们还需要依据图形，代入特殊值，才能解决题目中较难的问题。
代入的特殊值一般有x= -1， x= 1， x= -2 ，x=2，x=对称轴 等，以及图形中标出的特殊数值，将这些特殊值代入二次函数解析式中，求出函数值，然后结合图像
（1）与0作比较；
（2）与函数最值作比较；
（3）如果有一次函数，与一次函数值作比较；
（4）或者代入特殊值后，将得到的关于a、b、c表达式进行加减乘除运算等。
下面我们结合例题进行详细讲解：
三、例题解析
例1、如图所示，已知二次函数y=ax2 bx c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x=1.直线y=﹣x c与抛物线y=ax2 bx c交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，则下列结论：①2a b c＞0； ②a﹣b c＜0； ③x（ax b）≤a b； ④a＜﹣1.其中正确的是（ ）
A. ①②③④ B. ①②③ C. ②③ D. ①②
解：∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x＝− b/(2a) ＝1， （利用对称轴公式得出a、b的关系）
∴b＝−2a，
∴2a＋b＋c＝2a−2a＋c＝c＞0，所以①正确；
∵抛物线与x轴的一个交点在点（3，0）左侧，
而抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点在点（−1，0）右侧，
∴当x＝−1时，y＜0， （代入特殊值x＝−1，结合图像将函数值与0作比较）
∴a−b＋c＜0，所以②正确；
∵x＝1时，二次函数有最大值，（代入特殊值x＝1，得出函数最大值，二次函数的所有值都小于最大值）
∴ax2＋bx＋c≤a＋b＋c，
∴ax2＋bx≤a＋b，所以③正确；
∵直线y＝−x＋c与抛物线y＝ax2＋bx＋c交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，
∴x＝3时，一次函数值比二次函数值大，
即9a＋3b＋c＜−3＋c，（代入特殊值x＝3，结合图像将二次函数值与一次函数值作比较）
而b＝−2a，
∴9a−6a＜−3，解得a＜−1，所以④正确.
故答案为：A.
例2、如图，二次函数y=ax2 bx c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为（0.5，1），下列结论：①ac＜0；②a b=0；③4ac﹣b2=4a；④（a c）2﹣b2＜0．其中正确的个数是（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
解：由图像可知：
①a<0, c>0
∴ac＜0 正确
②∵顶点的横坐标为0.5
∴ x＝− b/(2a) ＝1/2
（利用对称轴公式得出a、b的关系）
∴a b=0 正确
③∵顶点的纵坐标为1
∴（4ac - b²）/4a=1（利用最值公式）
∴4ac﹣b2=4a正确
① 当x= 1时，y= a b c>0
当x= -1时，y= a-b c<0 （a-b c）（a b c）<0
∴（a c）²﹣b²＜0
（代入特殊值x＝−1，x=1得到关于a、b、c表达式进行相乘结合图像将函数值与0作比较）
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