吠陀时期是印度数学有可考的最早记录时期，时间跨度约从公元前10世纪到公元前3世纪。记述该时期的文献主要为《吠陀》，许多印度数学的早期记载就含在其中。在流传至今的几部《吠陀》中，有关设计和测量庙宇、祭坛的内容，该部分常被称为《绳法经》（约公元前8世纪-前2世纪），其中有一些实用性的几何内容和代数计算问题。近代发掘出的“巴克沙利手稿”，成为公元前2世纪至公元前3世纪期间的印度数学的唯一见证。这些书含有丰富的数学内容，涉及到分数、平方根、数列、比例算法、级数求和、代数方程等。其代数方程又包括一次方程、联立方程组、二次方程。手稿中还使用了一些数学符号，如减号等。另外，这部手稿中出现了完整的十进制数码，其中用一点“· ”表示数码“0”。
图一 1881年在巴基斯坦发现的巴克沙利手稿
印度数码中的零号克服了早期河谷文明中只留空位而没有符号的缺点。约公元9世纪，包括有零号的印度数码和十进位数值记数法臻于成熟，特别是印度人不仅把“0”看做记数法中的空位，而且也视其为可施行运算的一个独立的数。印度数码在公元8世纪传入阿拉伯国家，后又通过阿拉伯人传至欧洲。
图二 瓜廖尔石碑（公元876，记有数“0”）
印度数学向高潮发展的是席檀多时期，约从公元5世纪一直持续到12世纪。由于众多数学家的出现，印度数学在各方面都取得了广泛而卓有成效的进展。
阿耶波多（476-约550）是现今所知有确切生年的最早印度数学家。他有一本数学著作《阿耶波多历数书》（499年）。该书最大的贡献在于从实际上开创了弧度制度量，并创立了“库塔卡”方法以求丢番图方程。
婆罗摩笈多（598-665）的两部天文学著作《婆罗摩修正体系》（628年）和《肯德卡迪亚格》（约665年），都含有大量的数学内容。除了较为完整的数零运算法则、正负数的乘除法则、二次方程的求根公式，婆罗摩笈多最大的贡献在于给出了今天所谓“佩尔方程”的一种特殊解法。另外，他还利用二次插值法构造了间隔为150的正弦函数表。
公元7世纪后，印度数学出现了暂时的沉寂，直到9世纪后又呈现新的繁荣。而耆那教徒马哈维拉（9世纪）的《计算方法纲要刚要》最具代表性。这本数学著作对以往的数学内容作了系统的总结和推广，还给出了一般性的组合公式以及椭圆周长的近似公式。因其有很多问题和方法与中国的九章算术相同或相近，从而被认为受到中国算书的影响。
婆什伽罗（1114-1185）是古代和中世纪印度最伟大的数学家和天文学家。他有两本代表印度数学最高水平的著作：《莉拉沃蒂》和《算法本源》。《莉拉沃蒂》共分13章，在给出算学中的名词术语后，讨论了关于整数、分数的四则运算和开方之法，平面和立体图形的度量计算，代数问题，组合学问题等。《算法本源》主要是一本算术和代数著作，其中包括完整的数零运算法则，特别是对零作除数给出了有意义的解释，认为分母为零的分数表示一个“无限大量”。
图三《莉拉沃蒂》
整个古代和中世纪，南亚次大陆都不断处于外族的侵扰之下。多民族的交替入侵，使得古代印度文化包括数学在内不可避免的呈现出多元化的特点。然而印度数学始终保持着东方数学以计算为主的实用化特点。
本文转自公众号“数学专业”。
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