函数,是一个让学生们挠头的问题,不管是初中生还是高中生,不少孩子都谈函数色变。

大家都认为函数是在初中才接触,但作为教材编写者,其实在小学教材中——从一年级到六年级,就已经埋下了函数的相关内容。

只不过藏得有些隐蔽而已。

今天我就带大家看一看,小学数学教材中那些函数内容。

小学数学教材里为何没有公式(小学数学教材中函数思想体现在哪里)(1)

在一年级上册《20以内的进位加法》整理与复习的第1题。

本题中每一列式子都有一个共同点——两个加数中一个数字保持不变,另一个数字在依次加1,而结果也是依次加1。

这里就体现了加数与和的对应关系或者说是变化依存关系,随着一个加数的变化,和也在变化。

比如第一列9 2、9 3、9 4......其实就是一元一次函数y=9 x。

这一题的第(3)问——发现了什么,也即是在引导学生发现这种变量间的变化依存关系。

在一年级下册,我们也能看到类似的题目。

小学数学教材里为何没有公式(小学数学教材中函数思想体现在哪里)(2)

一年级下册《20以内退位减法》的一道练习题。

因为减数不变,显然差是随着被减数的逐渐变大而变大,这其实就是函数y=x-8。

小学数学教材里为何没有公式(小学数学教材中函数思想体现在哪里)(3)

一年级下册《20以内退位减法》整理与复习的第1题,也是如此。

小学数学的函数思想渗透的非常隐蔽,并没有出现变量,而是把变量变化用一个个具体的式子体现出来,需要家长或者老师在教学的过程中引导孩子发现这种规律。

再比如二年级上册数学课本中,因为涉及到表内乘法,可以说每一组乘法都可以认为是一个正比例函数。

比如2×2=4、2×3=6、2×4=8、2×5=10......

这其实就是正比例函数y=2x。

当然在课本中也不是只有这些内容,比如在本册《表内乘法(一)》的练习十一中,有这么一道题目:

小学数学教材里为何没有公式(小学数学教材中函数思想体现在哪里)(4)

这道题看上去平平无奇,但其实就是高中数学中会学习的映射。

也可以认为是函数的一种表示。

很明显会发现,随着左侧数值的变化,右侧数值也在相应的变化,但左右两侧数值之间的关系是不变的,这其实是一种对应的观点。

在二年级下册的除法学习中,我们会看到熟悉的形式:

小学数学教材里为何没有公式(小学数学教材中函数思想体现在哪里)(5)

仍然是整理与复习的第1题,熟悉的位置,熟悉的味道。

如果说一开始我们是臆测的话,那么到此我们就会确定——小学数学教材,起码人教版教材的编写者,的确在用这种方式潜移默化的向学生灌输函数思维,就看老师和家长能否注意到了。

随着学生年级的上升,函数内容的出现方式也日趋多样。

比如在三年级上册课本中我们会看到一些老面孔,以及新的变化。

小学数学教材里为何没有公式(小学数学教材中函数思想体现在哪里)(6)

三年级上册多位数乘一位数中练习十三的题目——y=99x。

小学数学教材里为何没有公式(小学数学教材中函数思想体现在哪里)(7)

整理与复习最后一题——y=9x b。

其实到了三年级往上,学生的能力有所提高,其实可以适当的抽象一下,比如让学生说一下规律,并尝试着把这种规律用图表、式子的形式表示一下。

这有些建模思想的意思了。

因为在三年级上册,其实会涉及到类似的内容:

小学数学教材里为何没有公式(小学数学教材中函数思想体现在哪里)(8)

这里的长方形、正方形周长公式,已经可以算作标准的函数了。

只不过没有代数化而已。

长方形周长=(长 宽)×2,这其实是一个二元函数y=2×(a b),周长随着长宽的变化而变化。

正方形周长=边长×4,这是一个正比例函数y=4a。学生在应用公式计算的过程,其实就是将自变量带入解析式求函数值的过程,显然随着边长的变化,周长也在变化,而且双方是一一对应的关系。

三年级下册中也有函数的身影。

小学数学教材里为何没有公式(小学数学教材中函数思想体现在哪里)(9)

三年级下册《笔算乘法》练习十第9题,y=11x。

小学数学教材里为何没有公式(小学数学教材中函数思想体现在哪里)(10)

三年级下册《笔算乘法》练习十一第10题,其实是二次函数y=x^2。

这里可以让学生观察平方关系中,因数每增加1,积增加的量越来越大。

小学数学教材里为何没有公式(小学数学教材中函数思想体现在哪里)(11)

长方形的面积公式且不去说,正方形的面积=边长×边长,其实也是二次函数y=x^2。

家长或者老师在给孩子讲的时候,其实可以多以表格的形式给孩子练习,计算边长与面积的值,体会其中的变化、对应关系。

小学数学教材里为何没有公式(小学数学教材中函数思想体现在哪里)(12)

在这一册课本《笔算乘法》练习十三中有这么一道题。

这道题内涵其实很丰富。

一方面揭示了当长方形周长为定值时,长宽越接近面积越大,正方形面积最大。

另一方面,如果我们用代数方式表示,就是当a b=k(定值),S=a×b=a×(k-a),这其实是一个二次函数了。

在四年级上册中,出现了新的函数类型。

小学数学教材里为何没有公式(小学数学教材中函数思想体现在哪里)(13)

这里涉及到三种函数模型——y=x÷k,y=k÷x,y=kx。

四年级下册函数思想体现的不多,不再赘述,但是到了五年级之后,函数的内容愈发多样。

小学数学教材里为何没有公式(小学数学教材中函数思想体现在哪里)(14)

在五年级上册第一单元《小数乘法》中的例9,体现了分段函数的思想,如果你去看初中或者高中的数学课本或者试题,在其中都会涉及到分段函数以及这个案例。

这道题的核心在于:打车计费需要分情况考虑,以3公里为标准,里程在其上下所面的的计费情况是不同的。

3公里以内,收费y=7,3公里以外,收费y=7 1.5(x-3),这是典型的分段函数。

进一步还可以讨论下定义域,即x的取值范围问题。

无独有偶,在小数除法这一单元中也出现了类似的问题。

小学数学教材里为何没有公式(小学数学教材中函数思想体现在哪里)(15)

这道题目可以列方程,也可以用先列函数解析式,然后根据函数值求自变量。

甚至可以从中体会函数与方程的关系。

在第五单元《简易方程》中有一道练习题:

小学数学教材里为何没有公式(小学数学教材中函数思想体现在哪里)(16)

这可以所谓一道数列问题,其实是一个等差数列,但也可以作为一个一次函数的问题,每次增加1个正方形,都需要增加3条边,其实是一次函数:y=1 3n。

等差数列,其实也是一个一次函数。

五年级下册没有特别明显的新鲜的内容,所以我们略过不谈。

但随着学生年龄增长,抽象能力越来越强,小学数学中函数的形式化也愈加明显。

比如六年级上册中,我们会遇到很多函数的内容。

小学数学教材里为何没有公式(小学数学教材中函数思想体现在哪里)(17)

小学数学教材里为何没有公式(小学数学教材中函数思想体现在哪里)(18)

在《圆》这一单元,周长公式与面积公式都是直接用字母代表,周长是一个一次函数,面积是一个二次函数,可以说解析式形式已经很标准、很抽象了。

小学数学教材里为何没有公式(小学数学教材中函数思想体现在哪里)(19)

这一册中的《数与形》中的一道练习题,这三幅图是标准的函数图像。

都表达了离家距离与离家时间的变化关系。

老师和家长可以引导孩子根据图像描述其反映的变化关系,寻找正确的答案。

体会图像是如何表示变化关系的。

到了六年级下册数学教材中,已经开始小初衔接的相关准备,所以函数内容在形式上更加明显突出。

比如在第四单元《比例》中正比例的概念:

小学数学教材里为何没有公式(小学数学教材中函数思想体现在哪里)(20)

这个式子整理一下,就是y=kx的正比例函数。

小学数学教材里为何没有公式(小学数学教材中函数思想体现在哪里)(21)

而且这道问题还直接给出了函数图像。

图像和解析式都是表示函数关系的工具。

小学数学教材里为何没有公式(小学数学教材中函数思想体现在哪里)(22)

你可以说它是比例问题,也可以说其是函数问题。

除了正比例,还有反比例。

小学数学教材里为何没有公式(小学数学教材中函数思想体现在哪里)(23)

这个式子整理一下,就是y=k/x反比例函数。

小学数学教材里为何没有公式(小学数学教材中函数思想体现在哪里)(24)

反比例函数的图像。

小学数学教材里为何没有公式(小学数学教材中函数思想体现在哪里)(25)

这道题如果要求学生写出关系式,并且仿照上图描点,就是典型的函数表示方法——解析式法、列表法、图像法了。

也就是说,在小学数学教材中,学生对于一次函数(包含正比例函数)、反比例函数、二次函数其实都有或多或少,或直观或抽象的认识了。

如果在孩子学习小学数学的过程中,有意识的结合这些编写者提供的素材,引导孩子熟悉函数概念,体会这种变化过程,对于他们初中函数的学习是很有帮助的,对于学有余力的孩子,更是可以引出一篇大文章。

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