初中数学对解析几何的学习是从数轴开始到平面直角坐标系,再将几何纳入。

而同学们有没有发现,所谓平面直角坐标系实际上就是两个相互垂直的数轴而已,因此把代表所有实数的数轴进行了平面拓展,将来我们还会学到立体几何,再将平面直角坐标系拓展到空间坐标系。

初中数学位置与坐标知识网络图 数学世界漫游指南(1)

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数轴的起源已不可考,我们这里就讲一个平面直角坐标系起源的小故事

前面爱情故事的主角笛卡尔年轻的时候经常思考一个问题:几何图形是直观的,而代数方程则比较抽象,能不能用几何图形来表示方程呢?关键在于如何把几何图形和方程以及数字挂上钩。

有一天他生病在家,躺在床上,无聊地看着天花板,脑子里思考着乱七八糟的数学公式,忽然屋顶角上的一只蜘蛛吸引了他的目光,那只蜘蛛拉着丝垂了下来,一会儿又顺着丝爬上去,在上边左右跑来跑去,不一会就织成一张用于捕猎的网。蜘蛛很勤奋,走过了多少路程才能结成一张网呢?

他先把蜘蛛看成一个点,反复计算着,昏昏沉沉的,他思考着思考着,病中的他就又睡着了。在梦中,他好像看见蜘蛛还在爬,离两边墙的距离也是一会儿大些,一会儿小些……他好像悟出了什么,又看到了什么。

大梦醒来的笛卡尔茅塞顿开:要是知道蜘蛛和两墙以及地面之间的距离,就能确定蜘蛛的位置,确定了位置自然就能算出蜘蛛走的距离。

于是他以屋子的墙角为原点,两面墙与地面相互交界为线,这样就能通过蜘蛛在三条线上映射的点确定蜘蛛的位置。

终于在蜘蛛的启示下,笛卡尔创建了直角坐标系。

当然这个传说可能和爱迪生的镜子,牛顿的苹果一样是后人牵强附会的,但有一点是可以肯定的,就是笛卡尔是个勤于思考的人,善于总结,并有着天马行空的想象力。

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好了,我们言归正传。

坐标系的雏形大约出现在军事领域,伴随着地图的出现,以中国古代地图为例,在明末清初以前我国的地图多以“南为上”,随着西方地理学经纬度的发明,传入中国,我们国家的地图也大多开始以“北为上”。

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清朝康熙年间《皇舆全览图》,通过观测北极星的高度来确定纬度,以政治中心为中央经线,实测绘制成

在世界各个地域的古代,都有作为军事用途的地图,在网格系统中标注地形、地貌、建筑等。在地图上进行标记两地距离、作战单位、作战态势、预期目标、行军路线、等就形成了丰富多样的几何图形,这就具备坐标系的几何基础。

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这是南宋时我国《九域守令图》,也能看到清晰的网格线

古希腊人将所有整数作为一个点进行排列,又将所有分数作为一个点插入各个整数之间,这样一个由点构型的图形就非常接近于一条直线,但是这只是近似,这条“直线”并不连续,特别希帕索斯提出了无理数后,人们发现了在分数之间并不连续,还是存在很多间隔,为此人类努力了2000年,并在有理数的基础上,增加了0这个介于正数与负数之间的平衡点,再将数的范围扩展到了实数(包含了有理数与无理数),这样,由数字所构成的直线才变得连续、平滑,这也是数轴的代数基础,也是直角坐标系的基础代数意义。

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从此“数轴”出现了。

数轴,一种特定几何图形,就是一条规定了原点、正方向和单位长度的直线(这就是数轴的三要素),以此来表示所有实数,你能想到的所有数字都在上面,当然不包括虚数。

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