一、题目

前段时间有粉丝问了一道题,题目如下:

如图,已知在正方形ABCD中,有一点O,AO=7,CO=9,BO=4,求正方形ABCD的面积。

初中矩形对角线求面积公式 已知正方形中三条线段长(1)

二、分析

要求正方形的面积,只要求出正方形边长,题目中已知条件,除了明确给出的3条线段长外,△AOB和△BOC还存在边相等、角互余的隐含条件,据此,容易想到把其中一个三角形旋转90°,使俩等边重合,进而构造出一个含直角且四边都已知的四边形,求它的对角线长。

三、解答

初中矩形对角线求面积公式 已知正方形中三条线段长(2)

如图,把△BOC绕点B逆时针旋转90°至△BO'A,则O'B=OB=4,O'A=OC=9,∠O'BO=∠ABC=90°.

条件不足,继续拓展已知条件,旋转出等腰,旋转90°出等腰直角三角形

连接OO',由勾股定理可得 OO'=4√2

初中矩形对角线求面积公式 已知正方形中三条线段长(3)

O'A=9,OA=7,OO'=4√2

由勾股定理逆定理可判断 △AOO'为直角三角形,∠AOO'=90°

∴∠AOB=135°

现在又得到了一个特殊角,构造特殊三角形,利用勾股定理即可求得AB

过点B作BE⊥AO,交AO延长线于点E

初中矩形对角线求面积公式 已知正方形中三条线段长(4)

则△BOE为等腰直角三角形

BE=OE=OB/√2=2√2,AE=AO OE=7 2√2

在RT△ABE中,由勾股定理可得

AB^2=65 28√2

∴四边形ABCD的面积为65 28√2

另解

这道题也可以利用坐标法求解,列式非常简单,但是计算量比较大,对计算能力要求比较高。

以点B为坐标原点,BC所在直线为x轴,AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系

设A(0,a),C(a,0),O(x,y)

由两点间距离公式可得3个二元二次方程

初中矩形对角线求面积公式 已知正方形中三条线段长(5)

也可解得a^2=65 28√2

四、小结

1、本题的特殊性在于,旋转后构成的四边形恰好可分为两个直角三角形,进而得到∠AOB=135°这个特殊角,进而构造特殊直角三角形由勾股定理求得线段长。

2、由方法二可知,即使△AOO'不是直角三角形,同样可解。

3、对比两种方法,方法一充分利用了图形的性质来解题,计算很简单,但必须步步为营;方法二列式很简单,无需考虑图形的具体性质,但是计算量很大。平时解题时,一般先从图形特点出发,利用图形性质来解题,当题目较复杂,不知该如何下手时,可尝试坐标法。

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