初中数学课程标准修改后,教材中四点共圆知识已经删除掉了,但这样一件强悍且使用简单的武器,我们还是有必要去了解的,近年来对于压轴题以几何为核心的考区来说,有时用到解题更为简洁方便,由此应该理解掌握。可以说传统几何知识“四点共圆”是直线形与圆之间度量关系或位置关系相互转化的媒介,是平面几何一个十分有力的工具。

初中数学倾斜角题解题方法(初高中衔接之倒角利器四点共圆)(1)

1.操作与探究

我们知道:过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆,探究过四边形四个顶点作圆的条件.

(1)分别测量图1、2、3各四边形的内角,如果过某个四边形的四个顶点能一个圆,那么其相对的两个角之间有什么关系?证明你的发现.

初中数学倾斜角题解题方法(初高中衔接之倒角利器四点共圆)(2)

(2)如果过某个四边形的四个顶点不能一个圆,那么其相对的两个角之间有上面的关系吗?试结合图4、5的两个图说明其中的道理.

初中数学倾斜角题解题方法(初高中衔接之倒角利器四点共圆)(3)

由上面的探究,试归纳出判定过四边形的四个顶点能作一个圆的条件.

【解析】:本题拓展性地考查了确定圆的条件,圆内接四边形的性质.圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据,在应用此性质时,要注意与圆周角定理结合起来.在应用时要注意是对角,而不是邻角互补.

(1)对角互补(对角之和等于180°);

∵矩形、正方形的对角线相等且互相平分,

∴四个顶点到对角线交点距离相等,

∴矩形、正方形的四个顶点可在同一个圆上;

四个顶点在同一个圆上的四边形的对角互补.

(2)图4中,∠B ∠D<180°.图5中,∠B ∠D>180°.

过四边形的四个顶点能作一个圆的条件是:对角互补(对角之和等于180°).

初中数学倾斜角题解题方法(初高中衔接之倒角利器四点共圆)(4)

变式.(1)已知一个矩形ABCD,能否画出一个圆,使它的四个顶点都在同一个圆上?试一试.

(2)已知一个等腰梯形ABCD,能否画出一个圆,使它的四个顶点都在同一个圆上?试一试.

(3)已知一个平行四边形ABCD,能否画出一个圆,使它的四个顶点都在同一个圆上?

【解析】:(1)已知一个矩形ABCD,其对角之和为180°,

初中数学倾斜角题解题方法(初高中衔接之倒角利器四点共圆)(5)

所以能画出一个圆,使它的四个顶点都在同一个圆上,.

(2)已知一个等腰梯形ABCD,其对角之和为180°,

所以能画出一个圆,使它的四个顶点都在同一个圆上.

(3)已知一个平行四边形ABCD,邻角之和为180°,

不能画出一个圆.

初中数学倾斜角题解题方法(初高中衔接之倒角利器四点共圆)(6)

2.定义:只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形,连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径.

(1)如图,损矩形ABCD,∠ABC=∠ADC=90°,则该损矩形的直径是线段______.

(2)①在损矩形ABCD内是否存在点O,使得A、B、C、D四个点都在以O为圆心的同一圆上?如果有,请指出点O的具体位置;

②如图,直接写出符合损矩形ABCD的两个结论(不能再添加任何线段或点).

初中数学倾斜角题解题方法(初高中衔接之倒角利器四点共圆)(7)

【解析】△ADC和△ABC都是直角三角形,且有共同的斜边,直角三角形的三个顶点在以斜边为直径的圆上.因而ABCD四个顶点共圆.

(1)线段AC;

(2)①在损矩形ABCD内存在点O,使得A、B、C、D四个点都在以O为圆心的同一个圆上,O是线段AC的中点.

②ABCD是圆内接四边形;∠ADB=∠ACB.

初中数学倾斜角题解题方法(初高中衔接之倒角利器四点共圆)(8)

初中数学倾斜角题解题方法(初高中衔接之倒角利器四点共圆)(9)

3.问题探究:

(一)新知学习:

圆内接四边形的判断定理:如果四边形对角互补,那么这个四边形内接于圆(即如果四边形EFGH的对角互补,那么四边形EFGH的四个顶点E、F、G、H都在同个圆上).

(二)问题解决:

已知⊙O的半径为2,AB,CD是⊙O的直径.P是弧BC上任意一点,过点P分别作AB,CD的垂线,垂足分别为N,M.

(1)若直径AB⊥CD,对于弧BC上任意一点P(不与B、C重合) (如图一),证明四边形PMON内接于圆,并求此圆直径的长;

(2)若直径AB⊥CD,在点P(不与B、C重合)从B运动到C的过程中,证明MN的长为定值,并求其定值;

(3)若直径AB与CD相交成120°角.

①当点P运动到弧BC的中点P1时(如图二),求MN的长;

②当点P(不与B、C重合)从B运动到C的过程中(如图三),证明MN的长为定值.

(4)试问当直径AB与CD相交成多少度角时,MN的长取最大值,并写出其最大值.

初中数学倾斜角题解题方法(初高中衔接之倒角利器四点共圆)(10)

【解析】:(1)如图一,

∵PM⊥OC,PN⊥OB,∴∠PMO=∠PNO=90°,

∴∠PMO ∠PNO=180°,

∴四边形PMON内接于圆,直径OP=2;

(2)如图一,∵AB⊥OC,即∠BOC=90°,

∴∠BOC=∠PMO=∠PNO=90°,

∴四边形PMON是矩形,∴MN=OP=2,

∴MN的长为定值,该定值为2;

(3)①如图二,∵P1是弧BC的中点,∠BOC=120°

∴∠COP1=∠BOP1=60°,∠MP1N=60°.

∵P1M⊥OC,P1N⊥OB,∴P1M=P1N,

∴△P1MN是等边三角形,∴MN=P1M.

∵P1M=OP1•sin∠MOP1=2×sin60°=√3,∴MN=√3;

②设四边形PMON的外接圆为⊙O′,连接NO′并延长,

交⊙O′于点Q,连接QM,如图三,

初中数学倾斜角题解题方法(初高中衔接之倒角利器四点共圆)(11)

则有∠QMN=90°,∠MQN=∠MPN=60°,

在Rt△QMN中,sin∠MQN=MN/QN,

∴MN=QN•sin∠MQN,

∴MN=OP•sin∠MQN=2×sin60°=2×√3/2=√3,

∴MN是定值.

(4)由(3)②得MN=OP•sin∠MQN=2sin∠MQN.

当直径AB与CD相交成90°角时,∠MQN=180°﹣90°=90°,MN取得最大值2.

初中数学倾斜角题解题方法(初高中衔接之倒角利器四点共圆)(12)

4.阅读理解:

如果同一平面内的四个点在同一个圆上,则称这四个点共圆,一般简称为"四点共圆".证明"四点共圆"判定定理有:1、若线段同侧两点到线段两端点连线夹角相等,那么这两点和线段两端点四点共圆;2、若平面上四点连成的四边形对角互补,那么这四点共圆.例:如图1,若∠ADB=∠ACB,则A,B,C,D四点共圆;或若∠ADC ∠ABC=180°,则A,B,C,D四点共圆.

初中数学倾斜角题解题方法(初高中衔接之倒角利器四点共圆)(13)

(1)如图1,已知∠ADB=∠ACB=60°,∠BAD=65°,则∠ACD=______;

(2)如图2,若D为等腰Rt△ABC的边BC上一点,且DE⊥AD,BE⊥AB,AD=2,求AE的长;

(3)如图3,正方形ABCD的边长为4,等边△EFG内接于此正方形,且E,F,G分别在边AB,AD,BC上,若AE=3,求EF的长.

【解析】:(1)∵∠ADB=∠ACB=60°,∴A,B,C,D四点共圆,

∴∠ACD=∠ABD=180°﹣∠ADB﹣∠BAD=180°﹣60°﹣65°=55°,

故答案为:55°;

(2)在线段CA取一点F,使得CF=CD,如图2所示:

初中数学倾斜角题解题方法(初高中衔接之倒角利器四点共圆)(14)

∵∠C=90°,CF=CD,AC=CB,

∴AF=DB,∠CFD=∠CDF=45°,∴∠AFD=135°,

∵BE⊥AB,∠ABC=45°,∴∠ABE=90°,∠DBE=135°,∴∠AFD=∠DBE,

∵AD⊥DE,∴∠ADE=90°,

∵∠FAD ∠ADC=90°,∠ADC ∠BDE=90°,

∴∠FAD=∠BDE,

在△ADF和△DEB中,∠FAD=∠BDE,AF=BD, ∠AFD=∠DBE,

∴△ADF≌△DEB(ASA),∴AD=DE,

∵∠ADE=90°,∴△ADE是等腰直角三角形,

∴AE=√2AD=2√2;

(3)作EK⊥FG于K,则K是FG的中点,连接AK,BK,如图3所示:

初中数学倾斜角题解题方法(初高中衔接之倒角利器四点共圆)(15)

∴∠EKG=∠EBG=∠EKF=∠EAF=90°,

∴E、K、G、B和E、K、F、A分别四点共圆,

∴∠KBE=∠EGK=60°,∠EAK=∠EFK=60°,

∴△ABK是等边三角形,

∴AB=AK=KB=4,作KM⊥AB,则M为AB的中点,

∴KM=AK•sin60°=2√3,

∵AE=3,AM=1/2AB=2,∴ME=3﹣2=1,

初中数学倾斜角题解题方法(初高中衔接之倒角利器四点共圆)(16)

初中数学倾斜角题解题方法(初高中衔接之倒角利器四点共圆)(17)

共圆结构是几何应用技巧结构中比较常见的一种模型,是几何中的倒角常用工具,解题常用模型利器,共圆模型的应用往往成为解题的关键步骤和技巧,用好共圆结构,会发现解题过程中柳暗花明,遇到很多难以转化的复杂过程或难点时,会有豁然开朗的感觉。

共圆结构的模型第二类模型就是同等异补结构用得比较多,具体是指在平面中,由一条边在这条边的同侧对着两个相等的角度,在这条边的异侧对着两个互补的角度,则考虑构造共圆结构,共圆后,一般是利用其转化角度,尤其同弧所对的圆周角相等,直径所对的圆周角是90度的应用,也有一些利用特殊角度或边长位置和数量关系转化边长的关系。总之,构造共圆后,就是在圆里利用的知识点和常规几何条件解决.

,