初中数学课程标准修改后，教材中四点共圆知识已经删除掉了，但这样一件强悍且使用简单的武器，我们还是有必要去了解的，近年来对于压轴题以几何为核心的考区来说，有时用到解题更为简洁方便，由此应该理解掌握。可以说传统几何知识“四点共圆”是直线形与圆之间度量关系或位置关系相互转化的媒介，是平面几何一个十分有力的工具。
1．操作与探究
我们知道：过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆，探究过四边形四个顶点作圆的条件．
（1）分别测量图1、2、3各四边形的内角，如果过某个四边形的四个顶点能一个圆，那么其相对的两个角之间有什么关系？证明你的发现．
（2）如果过某个四边形的四个顶点不能一个圆，那么其相对的两个角之间有上面的关系吗？试结合图4、5的两个图说明其中的道理．
由上面的探究，试归纳出判定过四边形的四个顶点能作一个圆的条件．
【解析】：本题拓展性地考查了确定圆的条件，圆内接四边形的性质．圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．
（1）对角互补（对角之和等于180°）；
∵矩形、正方形的对角线相等且互相平分，
∴四个顶点到对角线交点距离相等，
∴矩形、正方形的四个顶点可在同一个圆上；
四个顶点在同一个圆上的四边形的对角互补．
（2）图4中，∠B ∠D＜180°．图5中，∠B ∠D＞180°．
过四边形的四个顶点能作一个圆的条件是：对角互补（对角之和等于180°）．
变式．（1）已知一个矩形ABCD，能否画出一个圆，使它的四个顶点都在同一个圆上？试一试．
（2）已知一个等腰梯形ABCD，能否画出一个圆，使它的四个顶点都在同一个圆上？试一试．
（3）已知一个平行四边形ABCD，能否画出一个圆，使它的四个顶点都在同一个圆上？
【解析】：（1）已知一个矩形ABCD，其对角之和为180°，
所以能画出一个圆，使它的四个顶点都在同一个圆上，．
（2）已知一个等腰梯形ABCD，其对角之和为180°，
所以能画出一个圆，使它的四个顶点都在同一个圆上．
（3）已知一个平行四边形ABCD，邻角之和为180°，
不能画出一个圆．
2．定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径．
（1）如图，损矩形ABCD，∠ABC＝∠ADC＝90°，则该损矩形的直径是线段______．
（2）①在损矩形ABCD内是否存在点O，使得A、B、C、D四个点都在以O为圆心的同一圆上？如果有，请指出点O的具体位置；
②如图，直接写出符合损矩形ABCD的两个结论（不能再添加任何线段或点）．
【解析】△ADC和△ABC都是直角三角形，且有共同的斜边，直角三角形的三个顶点在以斜边为直径的圆上．因而ABCD四个顶点共圆．
（1）线段AC；
（2）①在损矩形ABCD内存在点O，使得A、B、C、D四个点都在以O为圆心的同一个圆上，O是线段AC的中点．
②ABCD是圆内接四边形；∠ADB＝∠ACB．
3．问题探究：
（一）新知学习：
圆内接四边形的判断定理：如果四边形对角互补，那么这个四边形内接于圆（即如果四边形EFGH的对角互补，那么四边形EFGH的四个顶点E、F、G、H都在同个圆上）．
（二）问题解决：
已知⊙O的半径为2，AB，CD是⊙O的直径．P是弧BC上任意一点，过点P分别作AB，CD的垂线，垂足分别为N，M．
（1）若直径AB⊥CD，对于弧BC上任意一点P（不与B、C重合） （如图一），证明四边形PMON内接于圆，并求此圆直径的长；
（2）若直径AB⊥CD，在点P（不与B、C重合）从B运动到C的过程中，证明MN的长为定值，并求其定值；
（3）若直径AB与CD相交成120°角．
①当点P运动到弧BC的中点P1时（如图二），求MN的长；
②当点P（不与B、C重合）从B运动到C的过程中（如图三），证明MN的长为定值．
（4）试问当直径AB与CD相交成多少度角时，MN的长取最大值，并写出其最大值．
【解析】：（1）如图一，
∵PM⊥OC，PN⊥OB，∴∠PMO＝∠PNO＝90°，
∴∠PMO ∠PNO＝180°，
∴四边形PMON内接于圆，直径OP＝2；
（2）如图一，∵AB⊥OC，即∠BOC＝90°，
∴∠BOC＝∠PMO＝∠PNO＝90°，
∴四边形PMON是矩形，∴MN＝OP＝2，
∴MN的长为定值，该定值为2；
（3）①如图二，∵P1是弧BC的中点，∠BOC＝120°
∴∠COP1＝∠BOP1＝60°，∠MP1N＝60°．
∵P1M⊥OC，P1N⊥OB，∴P1M＝P1N，
∴△P1MN是等边三角形，∴MN＝P1M．
∵P1M＝OP1•sin∠MOP1＝2×sin60°＝√3，∴MN＝√3；
②设四边形PMON的外接圆为⊙O′，连接NO′并延长，
交⊙O′于点Q，连接QM，如图三，
则有∠QMN＝90°，∠MQN＝∠MPN＝60°，
在Rt△QMN中，sin∠MQN＝MN/QN，
∴MN＝QN•sin∠MQN，
∴MN＝OP•sin∠MQN＝2×sin60°＝2×√3/2＝√3，
∴MN是定值．
（4）由（3）②得MN＝OP•sin∠MQN＝2sin∠MQN．
当直径AB与CD相交成90°角时，∠MQN＝180°﹣90°＝90°，MN取得最大值2．
4．阅读理解：
如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为"四点共圆"．证明"四点共圆"判定定理有：1、若线段同侧两点到线段两端点连线夹角相等，那么这两点和线段两端点四点共圆；2、若平面上四点连成的四边形对角互补，那么这四点共圆．例：如图1，若∠ADB＝∠ACB，则A，B，C，D四点共圆；或若∠ADC ∠ABC＝180°，则A，B，C，D四点共圆．
（1）如图1，已知∠ADB＝∠ACB＝60°，∠BAD＝65°，则∠ACD＝______；
（2）如图2，若D为等腰Rt△ABC的边BC上一点，且DE⊥AD，BE⊥AB，AD＝2，求AE的长；
（3）如图3，正方形ABCD的边长为4，等边△EFG内接于此正方形，且E，F，G分别在边AB，AD，BC上，若AE＝3，求EF的长．
【解析】：（1）∵∠ADB＝∠ACB＝60°，∴A，B，C，D四点共圆，
∴∠ACD＝∠ABD＝180°﹣∠ADB﹣∠BAD＝180°﹣60°﹣65°＝55°，
故答案为：55°；
（2）在线段CA取一点F，使得CF＝CD，如图2所示：
∵∠C＝90°，CF＝CD，AC＝CB，
∴AF＝DB，∠CFD＝∠CDF＝45°，∴∠AFD＝135°，
∵BE⊥AB，∠ABC＝45°，∴∠ABE＝90°，∠DBE＝135°，∴∠AFD＝∠DBE，
∵AD⊥DE，∴∠ADE＝90°，
∵∠FAD ∠ADC＝90°，∠ADC ∠BDE＝90°，
∴∠FAD＝∠BDE，
在△ADF和△DEB中，∠FAD＝∠BDE，AF=BD, ∠AFD＝∠DBE，
∴△ADF≌△DEB（ASA），∴AD＝DE，
∵∠ADE＝90°，∴△ADE是等腰直角三角形，
∴AE＝√2AD＝2√2；
（3）作EK⊥FG于K，则K是FG的中点，连接AK，BK，如图3所示：
∴∠EKG＝∠EBG＝∠EKF＝∠EAF＝90°，
∴E、K、G、B和E、K、F、A分别四点共圆，
∴∠KBE＝∠EGK＝60°，∠EAK＝∠EFK＝60°，
∴△ABK是等边三角形，
∴AB＝AK＝KB＝4，作KM⊥AB，则M为AB的中点，
∴KM＝AK•sin60°＝2√3，
∵AE＝3，AM＝1/2AB＝2，∴ME＝3﹣2＝1，
共圆结构是几何应用技巧结构中比较常见的一种模型，是几何中的倒角常用工具，解题常用模型利器，共圆模型的应用往往成为解题的关键步骤和技巧，用好共圆结构，会发现解题过程中柳暗花明，遇到很多难以转化的复杂过程或难点时，会有豁然开朗的感觉。
共圆结构的模型第二类模型就是同等异补结构用得比较多，具体是指在平面中，由一条边在这条边的同侧对着两个相等的角度，在这条边的异侧对着两个互补的角度，则考虑构造共圆结构，共圆后，一般是利用其转化角度，尤其同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是90度的应用，也有一些利用特殊角度或边长位置和数量关系转化边长的关系。总之，构造共圆后，就是在圆里利用的知识点和常规几何条件解决.
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