微积分中存在性问题的证明问题涉及闭区间上连续函数的性质,微分中值定理,积分中值定理和泰勒公式,是历年考试的重点,一定要熟练掌握。这一问题的突破点是选择正确的解题思路并合理构造辅助函数。
证明思路:
(1) 设函数f(x)在区间[a,b]上连续,条件中不涉及到导数和微分,证明存在一点ξϵ[a,b],使得f(ξ)=c,这种情况一般使用介值定理或根的存在性定理。
(2)设函数f(x)在区间[a,b]上连续,在(a,b)上可导,证明存在一点ξϵ[a,b],使得结论中包含ξ和一阶导数的等式成立,一般用中值定理。
(3)设函数f(x)在区间[a,b]上连续,在(a,b)上二阶可微,证明存在一点ξϵ[a,b],使得结论中包含ξ和二阶导数的等式成立,一般用三次使用中值定理或泰勒公式。
(4)设函数f(x)在区间[a,b]上连续,在(a,b)上三次(或以上)可导,证明存在一点ξϵ[a,b],使得结论中包含ξ和三阶导数的等式成立,一般用泰勒公式。
(5)条件中包含积分等式时,首先要积分中值定理处理,得到f(c)=f(ξ),作为其它证明的条件。
分析:本题条件中不涉及可到和可微,所以本题可以考虑使用介值定理证明。
f(a ξ)=f(ξ)→f(a ξ)-f(ξ)=0→f(a x)-f(x)=0
解:
备注:关键在于构造辅助函数
例2:
分析:本题的难点在于构造辅助函数,可作如下分析:
证明:
备注:注意辅助函数构造的方法。
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