函数列与函数项级数（一）
1.什么是函数列
虽然我们现在不知道函数列是什么，但是我们知道什么是数列。例如这个数列，而函数列就是用一个个函数来替换,例如，这就是一个函数列。
函数列的定义：设是一列定义在同一数集E（或区间E）上的函数，称为定义在E上的函数列。
函数列也可以简单地记作：，n=1,2,3,……或
2.函数列的收敛
一个数列中的数有时候是有限的，有时候是无限的。对于有限的数列不管数列里有多少元素，我们都能知道它是一个什么样子，而对于一个无限的数列要想了解它是一个什么样子就不容易了。这个时候人们就好奇一个无限的数列到最后会成为什么样子？有的人突发奇想一个无限的数列到最后会不会趋近于某一个数，这就是数列的收敛问题。
对于一个无限的数列如果到最后它趋近于某一个数，那么它就是收敛的，否则就是发散。
例如 这个数列随着n的不断变大会不断地趋近于0。
对于一个定义在数集E（或区间E）上的函数列 来说也会有同样的问题，而且相比于数列更加复杂，我们不仅要考虑n，还要考虑自变量x。
函数列收敛的定义：设是定义在E上的函数列，取E
若=，则在处收敛，为收敛点。
其中，为极限函数
若=不存在，则在处发散，为发散点。
若对于E都有=,那么在数集E上收敛，称为的极限函数。记作：
例如 函数列，
当﹣1＜x＜1时，=
当X=1时，=
当X≤﹣1或X＞1时，不存在
所以，在上收敛。
3.函数列的一致收敛
我们首先给出一致收敛的定义：设函数列与函数定义在同一数集D上，若对任给的正数，总存在某一正整数N，使得当n＞N时，对一切x∈D，都有
＜ε
则称函数列在D上一致收敛于f，记作
这个定义也可以简单地表述为是否存在一个N使得，无论x等于多少，只要n＞N都收敛于。
例2在（0,1）上是否一致收敛？
下图为中的部分图像
由这个图像我们可以知道
当n=1时，只有x趋近于0时函数才会趋近于0；
当n=2时，在x小于0.1之后才慢慢地接近于0；
当n=4时，在x小于0.3之后才慢慢地接近于0；
我们再结合下面这张图
我们可以知道在1的左侧，我们总是能够找到一个数使得，这个数的n次方不趋近于0。
所以， 在（0,1）上不一致收敛于0
在分析完之后，我们写一下解题过程。
解：取=，x=
对任意一个正整数N，当n＞N 1时，有
所以， 在（0,1）上不一致收敛。
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