作者 | 扬帆起航552来源 | 小谜题大世界
前两期我们讲了棱柱与基本几何体的组合，这期接着讲反棱柱与基本几何体的组合。首先介绍一下什么是反棱柱：反棱柱（Antiprism）是由两个边数相同的平行基底和侧面的三角形组成的多面体。如下图，上面是等棱长的正N棱柱，下面是正N角反棱柱（N=3，4，5，…，9）。
一、反棱柱与棱锥的组合
我们知道，等棱长的棱锥有三种。按理说，在反棱柱的顶面（或底面）加上一个棱锥，便得到三种锥反棱柱；在顶面和底面同时加上一个棱锥，便得到三种双反棱锥柱。但如上表所示，一共只有2个锥反棱柱和1个双反棱锥柱，为什么呢？
这是因为，在正三角反棱柱（即正八面体）的顶面加上一个正三棱锥，会得到一个含有3个菱形面的多面体；如果上下各加上一个正三棱锥，会得到一个各个面为全等菱形的平行六面体。而如果在正五角反棱柱在顶面和底面各加一个正五棱锥，则会得到正20面体。
另外，正三角反棱柱不管在几个面上增加棱锥，得到的多面体或者是凹多面体，或者是含有非正多边形的面，再或者是正四面体（在两两共顶点的4个面上添加）；而在正N角反棱柱（N＞3）的侧面加棱锥总会得到凹多面体。
因此，反棱柱与棱锥在组合只有上述三种。
二、反棱柱与台塔及丸塔的组合
我们知道，三种基本几何体中，台塔有三种，丸塔有一种。在反棱柱的顶面加上一个台塔或丸塔，便得到三个台塔反棱柱和一个丸塔反棱柱。而在顶面和底面同时加上一个台塔或丸塔，便得到三个双台塔反棱柱、一个双丸塔反棱柱、一个台塔丸塔反棱柱。
上期讲双台塔柱的时候，如果上层（或下层）单元旋转一定角度，可以产生另外一种约翰逊多面体。那么反棱柱可以旋转吗？实验发现，旋转之后得到的多面体与旋转之前呈镜像关系（如下图），而没有本质区别。正如在13种阿基米德体中，扭棱立方体与扭棱十二面体都是有镜像之分的，但一般只把它们及镜像看作一种阿基米德体。
旋转之后的双三角台塔反棱柱与之前呈镜像关系
至此，反棱柱与三种基本几何体的12种组合情况均已明晰，现罗列如下：
正四棱锥反棱柱
正五棱锥反棱柱
双四棱锥柱
正三角台塔反棱柱
正四角台塔反棱柱
正五角台塔反棱柱
正五角丸塔反棱柱
双三角台塔反棱柱
双四角台塔反棱柱
双五角台塔反棱柱
双五角丸塔反棱柱
五角台塔丸塔反棱柱
参考文献：
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约翰逊多面体. 北城百科网
https://www.beichengjiu.com/mathematics/172649.html
2.顾森.高度对称的多面体和它们的对偶多面体
http://www.matrix67.com/blog/archives/6161
