今年初我写了一篇“如何更好地理解IRR”的文章，目的是指导我们如何按照我们的想法去调整IRR的大小。但我们实际工作中我们还经常会遇到IRR报错或者为负数的情况，这个时候通过之前文章中的方法就不适用。
今天这篇文章就对测算表IRR报错或者负数的情况进行了一些探索，以期对大家的实际工作有所帮助，也希望能和大家一起交流学习。
（备注：为了方便大家的阅读，我把之前的文章直接放到了前半部分，如果之前已经看过的读者，可以直接看后半部分。）
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作为一名房地产投资人员，就永远绕不开内部收益率（即IRR），很多公司在前期土地研判时一般考量两个指标，一个是净利润率，另一个便是IRR，比如我们知道的部分公司就要求净利润率及IRR必须达到双15%这个项目才可获取。
净利润率非常好理解，但是这个IRR在房地产项目测算结果出来时，很多朋友却不是特别理解，到底IRR能够代表什么深层次的含义？我们从这个指标当中能够得到什么信息？IRR的高低对一个项目的影响在哪里？
我们常规做法应该怎么计算这个项目的IRR呢？我们采用的是试错法的方式，假设这个项目的折现率为x，将每一期现金流折现到第1期，合计净现值为0，即：
拿到这个公式可纳闷了，这特么可怎么计算呢？
按照传统的方式我们只有分别假定一个折现率去试错，假设x=6%，公式左侧为负；假设x=4%，公式左侧为正，那么我们就可以推断IRR是介于4%-6%之间。这么算实在太麻烦。
在科技发达的今天，好在excel给我们提供了强大的计算工具，我们用IRR函数简单一拉结果就出来了，最终算出这个项目的IRR=5%
IRR=5%说明了什么问题呢，说明当这个项目现金流按5%折现时净现值刚好等于0，如果小一点按4%折现净现值就大于0，如果再大一点按6%折算，净现值就小于0了，这个项目就不可行了，而且折现率此时越大那么亏得越多。
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好了，我们现在再回过头来重新理解IRR。
IRR是指在考虑资金时间价值的情况下，项目投资在未来产生的投资收益现值刚好等于投资成本时的折现率。再进一步理解，内部收益率是投资项目最低应达到的收益率。
IRR指标能够较为综合地反映项目管理、资本运营的效率和效益值，涉及项目的资金计划，是房地产企业对项目运营监控的核心指标。
计算NPV所用的折现率，是一个项目的加权平均融资成本。每家企业都有自己的融资成本，通常来说是个固定的值。
知乎上项梓例举了一个非常好理解的例子，比如我开发一个住宅项目，折现率为10%，计算出项目的NPV>0，说明这个项目是可以盈利的。现在，我计算出这个项目的IRR是5%。当折现率等于5%的时候，这个项目的NPV就变成0了。假如现在我的自有资金只够支持50%的前期投入，另外的50%要去贷款。我找信托找基金给到我的贷款年利率是10%，那我要不要贷款来做这个项目呢？经过这一计算我们知道这个项目当我的融资成本超过5%（IRR）的时候，NPV就会变成负的。说明不值得去贷款来做项目。
这个例子说明，一个项目的IRR越高，我越敢贷款来做项目。由此，我们可以推断这个项目是非常难做的，因为你去市场上是很难找到融资成本低于5%以下的钱的。
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那紧接着，我们要思考第二个问题了，那就是如何来提高我们的IRR，这样可以指导我们在做测算的时候应该如何去“随心所欲”地调整我们的现金流来匹配我们想要的IRR指标（作为一名资深的投资人员，我想你懂的）。
我们还是采用上面的例子，5%的IRR实在太低，在很多发展商眼里这个项目肯定是通不过的，因此作为一名资深的投资人员，我们要想办法“做高”这个IRR。
根据上面我们列出的求IRR的公式，我们首先应该想到的是，在保证现金支出节奏不变的情况下，尽可能“早”地实现销售收入。
因此我们尝试着把整个项目的现金流入都往前摞动1期，即第5期的2000万摞到第4期实现，第6期1500万摞到第5期实现，第7期的500万摞到第6期实现，因此这个项目的现金流就成了这个样子：
此时，用excel计算得出IRR=6%，nice! 提高了1%。
同理，在此基础上我们试着把现金流出往后延1期试试：
此时，用excel计算得出IRR=9%，挺好，又提高了3%。由于咱们这个例子中期数比较少，现金流的数据也较少，我们也只摞动了1期，因此IRR的变动幅度还比较矜持。
若我们按照一个实际的房地产开发项目的现金流来计算，收入往前多摞动几期支出往后也多摞动几期效果会更加明显。
在此基础上，我们再增加销售收入试试，比如再第7期增加1000万：
此时计算得出IRR=18%，已经比较理想了！
同理，在此基础上我们在第2期再减少支出1000万：
此时计算得出IRR=44%，相当不错了！
由此，我们基本发现了提升IRR四条最基本规律：
①“快收”：尽可能地把销售收入提前，比如争取提前开盘、加快推售节奏。
②“慢支”：尽可能地把现金流出往后，比如争取土地款分期支付、施工方工程款垫资、条件允许下延缓各类费用支付节奏。
③“多收”：尽可能多增加销售收入，优化规划方案，尽量多布局高溢价产品；差异化定位，把握自主定价权。
④“少支”：尽可能节约成本，成本部同事测算时留给自己的“富裕量”部分，投资同事应该是要多去争取的。
这篇文章发布后，很多朋友留言，其中有1个代表性的问题集中回复一下：
问题：现金流采用年度、季度、月度数据求解出来的IRR之间是什么关系？
由于一般房地产项目的建设周期较短，一个高层项目从拿地到交付的时间周期也就3年左右，所以用年度现金流序列来计算IRR就不太合理，所以房地产项目一般采用季度或者月度现金流序列来计算IRR。
他们之间就犹如名义利率与实际利率的关系。比如你去找银行贷款年利率是8%，按月付息。由于是按月付息，因此8%是年名义利率，月利率=8%/12=0.66%，年实际利率=（1 0.66%）^12−1=8.2%。可见名义利率与实际利率是有差异的，且一般来讲实际利率高于名义利率。
同理，我们假设P0为年初现金流初值，当然P0同时亦为该年首季度和首月度初值，P为终值。IRR年度、IRR季度、IRR月度分别为年度、季度、月度内部收益率。
则有P= P0*（1 IRR年度）
= P0*（1 IRR季度）^4
=P0*（1 IRR月度）^12
于是，IRR年度=（1 IRR季度）^4-1=（1 IRR月度）^12-1
可见，IRR年度≠4* IRR季度≠12* IRR月度，这一点很容易出错，大家一定要注意！
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除了提升IRR的问题外，我们在实际测算过程中，还经常遇到这样一种情况，那就是测算出来IRR为负数，这可如何是好，搞得很多朋友一脸懵逼。
比如，有这样一笔现金流：
通过EXCEl求解得出IRR=-8%，为一个负数。
此时大家一定非常迫切想搞清楚这几个问题：
1、 IRR为负数是什么含义？负数是什么情况产生的？
2、 测算表求解出IRR为负数后，我们应该怎么调整现金流？
为了得出更加一般性的规律，我们首先得回归到IRR求解的数学模型中，比如拿我们上面列举的求解公式来看：
我们可以把这个方程抽象为：
数学上我们把这种方程叫做一元n次多项式，它是n次方程。n次方程应该有n个解（其中包括负数根和重根），很明显，负根并无经济意义。只有正实数根才能是项目的IRR，而方程的正实根可能不止一个。
而n次方程式的正实根的数目可用笛卡尔符号规则进行判断，即正实根的个数不会超过项目现金流量序列（多项式系数系列）的正负号变化的次数p（如遇有系数为零，可视为无符号）。
是不是越看越懵逼？到底是什么意思呢？能不能说人话......
直白一点，就是说这个项目的现金流求解出来的IRR的个数取决于这笔现金流的“现金流”（注意，这里的现金流对应到测算表中应为净现金流）由正转负或者由负转正的次数，假设这个次数为p：
如果P=0（正负号变化0次），则方程无根；
如果P=1（正负号变化1次），则方程有唯一根。
如果P=2（正负号变化2次），则方程的正实根＜2个。
也就是说，若项目的净现金流（t=0,1,2,,n）的正负号仅变化1次，内部收益率方程肯定有唯一解。
而当净现金流序列的正负号有多次变化（两次或两次以上），内部收益率方程可能有多解。
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为了便于大家更好的理解，这里列举几种典型的现金流：
(1)
这笔现金流序列正负号仅变化1次，因此内部收益率方程只有唯一解。果不其然，通过excel计算得出IRR=20%，这是一笔比较常规的现金流，与我们前文所列举的现金流特征一致。
（2）
这笔现金流序列正负号仅变化1次，因此内部收益率方程只有唯一解。但这笔现金流计算得出IRR=-8%，为负数。
问题来了，为什么会出现负数呢？
我们对比一下上面两笔现金流序列，可以从中找到一个重大区别：那就是“累计净现金流”的区别，第一笔累计净现金流=500为正，因此IRR为正；而第二笔累计净现金流=-1000为负，因此IRR为负。
通过这种观察得出结论是不是偶然呢？我们进一步验证。
我们把第2笔现金流中第6期的金额调整为3000，使得累计净现金流=0，此时我们计算出IRR=0，如图：
进一步，我把第6期净现金流金额再增加1000，使得累计净现金流为正。果不其然，此时计算得出IRR=6%，成为正值了，如图：
为了得出一个更一般性的结论来指导工作，我们再看几笔特殊的现金流:
（3）
这笔现金流序列正负号变化0次，因此内部收益率方程应无解，通过excel验算果然报错！
（4）
这笔现金流序列正负号变化2次，因此内部收益率方程至多有2个解，即至多存在2个IRR。
（5）
这笔现金流序列正负号变化3次，因此内部收益率方程至多有3个解，即至多存在3个IRR。
看完以上五笔现金流案例，我们大概可以总结出一个更一般性的结论来指导我们测算工作：
1、若方案的第一笔净现金流＜0（即正常的项目我们第一笔资金基本是支出的，也就是我们投入的一部分），现金流序列仅改变一次正负号，且累计净现金流＞0，此时项目必有唯一的“正”IRR解。
2、若方案的第一笔净现金流＜0，现金流序列仅改变一次正负号，且累计净现金流＜0，此时项目必有唯一的“负”IRR解，铺排的此现金流方案不可行，需要调整。
3、若方案的现金流序列不改变正负号，则方案的IRR不存在，不能用IRR来评价此方案。
4、若方案的＜0，现金流序列符号变化多次，则方案的IRR个数不超过现金流序列符号变化的次数。在这种情况，也可能会有唯一的IRR解也有可能无解。
显然我们在测算的时候是不希望IRR出现负值（负值无意义），也不希望IRR出现多解，因为此时IRR无法确定而导致IRR失效。
查阅了很多文献，在IRR存在多个解的情况下用excel的IRR函数就非常受局限，因为无论由谁来做，或无论你做多少次，excel均只给出一个解，这显然是不合适的。但尽管在这种情况下，我们很多公司的测算表也是非常暴力地使用excel的IRR函数直接进行求解，我个人认为此时求解出来的结果是有待商榷的。
因此，我们在铺排现金流的时候，期初为负，后续期为正，累计净现金流为正，是我们需要关注的三个要点，此时求解出来的IRR是唯一确定的正值。
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