第二十一章 一元二次方程
21.1 一元二次方程
在一个等式中,只含有一个未知数,且未知数的最高次数是 2 次的整式方程叫做一元二次方程。
一元二次方程有四个特点: (1) 只含有一个未知数; (2) 且未知数次数最高次数是 2;(3) 是整式方程.要判断一个方程是否为一元二次方程, 先看它是否为整式方程,
若是,再对它进行整理. 如果能整理为 ax bx c=O(a-::O) 的形式,则这个方程就为一元二次方程. ( 4)将方程化为一般形式: ax 2 bx c=O 时,应满足(
a-::O)
21.2 降次——解一元二次方程
1. 一元二次方程的解法
2
(1) 直接开平方法:根据平方根的意义,用此法可解出形如 x 2 a (a ?O),(x a) b (b ? O) 类的
2
一元二次方程. x a ,则 x a ; (x a) b , x a b , x a b .对有些一元二次方程,本
身不是上述两种形式,但可以化为 x 2 a 或(x a)2 b 的形式,也可以用此法解.
(2) 因式分解法:当一元二次方程的一边为零,而另一边易分解成两个一次因式的积时,就可用
此法来解.要清楚使乘积 ab=O 的条件是 a=O 或 b=O,使方程 x(x —3) =O 的条件是 x= O 或 x—3
= O.x 的两个值都可以使方程成立,所以方程 x(x — 3) =O 有两个根,而不是一个根.
2
(3) 配方法:任何一个形如 x
bx 的二次式,都可以通过加一次项系数一半的平方的方法配成一
个二项式的完全平方, 把方程归结为能用直接开平方法来解的方程. 如解 x 6x 7 O 时,可把方程
x 2 6x 6 7 6
化为 x 2 6x
7 , 2
2 ,即 (x 3)2 2 ,从而得解.
注意: (1) ”方程两边各加上一次项系数一半平方”的前提是方程的二次项系数是 1.
(2) 解一元二次方程时,一般不用此法,掌握这种配方法是重点.
2
(3) 公式法:一元二次方程 ax bx c O (a -::O) 的根是由方程的系数 a、b、c 确定的.在 b 4ac O
x
b b
a
4ac
.用公式法解一元二次方程的一般步骤:
也先把方程化为一般形式,即 ax 2 bx c O (a -:: O) 的形式;
@正确地确定方程各项的系数 a、b、c 的值( 要注意它们的符号 ) ;
@计算 b 4ac O 时,方程没有实数根,就不必解了 ( 因负数开平方无意义 ) ;
@将 a、b、c 的值代入求根公式,求出方程的两个根.
说明: 象直接开平方法、因式分解法只是适宜千特殊形式的方程,而公式法则是最普遍,最适用的方法.解题时要根据方程的特征灵活选用方法.
.
一元二次方程根的判别式
一元二次方程的根有三种情况: 也有两个不相等的实数根; @有两个相等的实数根; @没有实数
根.而根的情况,由 b2
4ac 的值来确定.因此 b 2 4ac 叫做一元二次方程 ax 2 bx c O 的根的判
别式.
,6>O 方程有两个不相等的实数根.
,6= O 方程有两个相等的实数根.
,6<O 方程没有实数根. 判别式的应用
(1)
不解方程判定方程根的情况;
,