带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动运动,洛伦兹力充当向心力,qvB=mv²/r,得到圆周运动的轨道半径为r=mv/qB,t=S/v=θr/v=θm/qB(θ为圆心角).

带电粒子在匀强磁场中的运动时间为:t=θm/qB

运动时间由圆心角决定,与速度v无关。

带电粒子在匀强磁场中的运动时间公式推导(带电粒子在匀强磁场中的运动时间)(1)

圆心角θ=偏转角Φ=2×弦切角

☞速度和弦的夹角就是弦切角,入射点和出射点连线就是弦,弦切角越大,圆心角就越大,时间就越长。

【总结】看角弧弦

带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的时间比较,通常有以下几种方法,还要结合动态圆法。

一:看圆心角

例题:如图所示,

带电粒子在匀强磁场中的运动时间公式推导(带电粒子在匀强磁场中的运动时间)(2)

x轴上放有一足够大的荧光屏,y轴上(0,L)处有一个点状的α粒子放射源A,某瞬间同时向xOy平面内各个方向发射速率均为v₀的α粒子(不计重力),设α粒子电量为q,质量为m.求:

(1)当空间中只存在平行xOy平面沿y轴负方向的匀强电场时,最后到达荧光屏的α粒子在电场中的运动时间为最先到达荧光屏的α粒子在电场中运动时间的3倍,求电场强度;

(2)当空间中只存在垂直xOy平面向里的匀强磁场时,最先到达荧光屏的α粒子在磁场中的运动时间为最后到达荧光屏的α粒子在磁场中运动时间的2/9.求磁感应强度及荧光屏被打亮的范围。

【解析】

采用旋转圆法,如图,沿绿色轨迹运动的粒子时间最短(弦最短),沿红色轨迹运动的粒子时间最长(与边界相切)

带电粒子在匀强磁场中的运动时间公式推导(带电粒子在匀强磁场中的运动时间)(3)

由几何关系

Rsin(α/2)=L/2

R Rsin(3π/2-β)=L

由题意,β=4.5α

解得α=60°,R=L

R=mv₀/qB,得B=mv₀/qL

带电粒子在匀强磁场中的运动时间公式推导(带电粒子在匀强磁场中的运动时间)(4)

在x轴正方向,被打亮最远点对应弦长为直径,x₁=√3L

在x轴负方向,被打亮最远点对应轨迹与荧光屏相切点,x₂=-L

故打亮的范围为-L≤x≤√3L

例题:如图所示,

带电粒子在匀强磁场中的运动时间公式推导(带电粒子在匀强磁场中的运动时间)(5)

半径为r=0.1 m的圆形匀强磁场区域边界跟y轴相切于坐标原点O,磁感应强度B=0.332 T,方向垂直纸面向里.在O处有一放射源,可沿纸面向各个方向射出速率均为v=3.2×106⁶m/s的α粒子.已知α粒子质量m=6.64×10⁻²⁷ kg,电荷量q=3.2×10⁻¹⁹C,不计α粒子的重力.求α粒子在磁场中运动的最长时间.

带电粒子在匀强磁场中的运动时间公式推导(带电粒子在匀强磁场中的运动时间)(6)

二:看速度偏转角

【例题】如图所示,两电子沿MN方向射入两平行直线的匀强磁场,并分别以v₁、v₂的速度射出磁场,则v₁:v₂是多少?两电子通过匀强磁场所需时间之比t₁:t₂是多少?

带电粒子在匀强磁场中的运动时间公式推导(带电粒子在匀强磁场中的运动时间)(7)

【解析】

带电粒子在匀强磁场中的运动时间公式推导(带电粒子在匀强磁场中的运动时间)(8)

v₁:v₂=1:2

时间之比只需圆心角之比。

t₁:t₂=90°/60°=3:2

三:看弦切角

对于速度方向不变,速度大小变化的情况,一般看弦切角。

【例题】如图所示,

带电粒子在匀强磁场中的运动时间公式推导(带电粒子在匀强磁场中的运动时间)(9)

匀强磁场的边界为平行四边形ABDC,其中AC边与对角线BC垂直,一束电子以大小不同的速度沿BC从B点射入磁场,不计电子的重力和电子之间的相互作用,关于电子在磁场中运动的情况,下列说法中正确的是(C)

A.入射速度越大的电子,其运动时间越长

B.入射速度越大的电子,其运动轨迹越长

C.从AB边出射的电子的运动时间都相等

D.从AC边出射的电子的运动时间都相等

【解析】

只要从AB边出,弦切角就一样,时间就一样。

弧长=vt=θmv/qB,v越大,θ未知。

带电粒子在匀强磁场中的运动时间公式推导(带电粒子在匀强磁场中的运动时间)(10)

例题:(2020年全国I卷理综物理18题)一匀强磁场的磁感应强度大小为B,方向垂直于纸面向外,其边界如图中虚线所示,

带电粒子在匀强磁场中的运动时间公式推导(带电粒子在匀强磁场中的运动时间)(11)

ab为半圆,ac、bd与直径ab共线,ac间的距离等于半圆的半径。一束质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子,在纸面内从c点垂直于ac射入磁场,这些粒子具有各种速率。不计粒子之间的相互作用。在磁场中运动时间最长的粒子,其运动时间为()

带电粒子在匀强磁场中的运动时间公式推导(带电粒子在匀强磁场中的运动时间)(12)

弦切角最大时,时间最长。

带电粒子在匀强磁场中的运动时间公式推导(带电粒子在匀强磁场中的运动时间)(13)

带电粒子在匀强磁场中的运动时间公式推导(带电粒子在匀强磁场中的运动时间)(14)

例题:一圆筒处于磁感应强度大小为B的匀强磁场中,磁场方向与筒的轴平行,筒的横截面如图所示.图中直径MN的两端分别开有小孔,筒绕其中心轴以角速度ω顺时针转动.在该截面内,一带电粒子从小孔M射入筒内,射入时的运动方向与MN成30°角.当筒转过90°时,该粒子恰好从小孔N飞出圆筒.不计重力.若粒子在筒内未与筒壁发生碰撞,则带电粒子的比荷为(A)

带电粒子在匀强磁场中的运动时间公式推导(带电粒子在匀强磁场中的运动时间)(15)

A:ω/3B

B:ω/2B

C:ω/B

D:2ω/B

带电粒子在匀强磁场中的运动时间公式推导(带电粒子在匀强磁场中的运动时间)(16)

弦切角15°。

四:看弦长

对于速度大小不变,方向发生变化的情况,一般看弦长。

同一弦,对应两个弧,有劣弧和优弧之分.

劣弧:弦越长,靠近直径,圆心角越大,时间越长.

优弧:弦越长,靠近直径,圆心角越小,时间越短.

轨迹圆半径不变,对于优弧,

例题:如图所示,

带电粒子在匀强磁场中的运动时间公式推导(带电粒子在匀强磁场中的运动时间)(17)

在真空中半径R=3.0×10²m的圆形区域内,有磁感应强度B=0.2T、方向垂直于纸面向里的匀强磁场.大量带正电的粒子以初速度v=1.0×10⁶m/s从磁场边界上的一点A向着纸面内的各个方向射入磁场,粒子的比荷q/m=1.0×10⁸C/kg,不计粒子重力,则粒子在磁场中运动的最长时间是多少?

带电粒子在匀强磁场中的运动时间公式推导(带电粒子在匀强磁场中的运动时间)(18)

带电粒子在匀强磁场中的运动时间公式推导(带电粒子在匀强磁场中的运动时间)(19)

圆心角,偏转角,弦切角,弦长实质是等同的。

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