在数学解题众多技巧中,有一类特例法,在选择题中用得比较多,但一般属于不严谨的解法,仅用于帮我们解决考试问题,属于一种应对考试的技巧。但是你知道吗?特例法其实也可以做到严谨性的。下面这道2022年全国高考理科数学乙卷的选择题立体几何真题,老黄就准备给大家分享严谨的“特例法”是怎么回事。

已知球O的半径为1,四棱锥的顶点为O,底面的四个顶点在球O的球面上,则当该四棱锥的体积最大时,其高为

A. 1/3; B. 1/2; C. 根号3/3; D. 根号2/2

自己画一个草图,帮助理解一下题意。这个问题最大的难点是四棱锥的底面是一个任意四边形,并不规则,因此很难对它进行分析。解决的办法就是用“特例法”来突破它。

高考数学秒杀型推论技巧(高考中考数学重要的技巧)(1)

分析:不妨设四棱锥底面积为正方形,边长为a(这里并不适合设为1), 这就是一个特例。根据正方形的性质,可以得到它的对角线长是根号2 a,在四棱锥的侧棱(即球体的一条半径R)、四棱锥的高h,以及底面正方形的对角线(其实只有一半)围成的直角三角形中,运用勾股定理,就有:

h^2 (根号2 a)^2=R^2,即a^2=2-2h^2.

由棱锥的体积公式,V=底面积×高/3=ha^2/3=2h-2h^3,求导得V'=2-6h^2.

当V'=0时,解得h=根号3 /3.

当h<=根号3 /3时,V'>0,V单调增;当h>=根号3 /3时,V'<0,V单调减.

因此h=根号3 /3时,四棱锥的体积V就最大。先增后减的界点是极大值,而连续函数唯一的极大值是最大值。

但这只是底面为正方形时的特例。如何保证底面是普通的四边形时,四棱锥的体积V,仍在高h=根号3 /3时最大呢?这是一个稍微有点烧脑的问题。不过对于考试,到这里已经足够了,下面完全是对于数学探究的一种热情。

事实上,不论底面的形状如何,甚至如果不限定它是一个四棱锥的话,哪怕底面是一个变形虫,它都会有一个面积,记为S,而这个面积与其等高的正方形底面积a^2之间,有一个比值,而且对于不同的高,这个比值是一个常数,记为k。

这其实是一个相似图形的概念。不同的高,两个形状相同的底面的面积比是它们所在立体图形的高的比的平方,两个正方形底面的面积比,也是它们所在四棱锥的高的比的平方,这两组比例关系中的对应高是同一条高。因此同高的情况下,形状相同的底面中的一个,与同高四棱锥的正方形底面积的比是一个常数。

用数学的方式再说明一下。设在两个高h1,h2下,各有一个形状相同的图形的底面面积为S1,S2,以及各有一个正方形底面面积为S1', S2',则:

S1/S1'=h1^2/h2^2,S2/S2'=h1^2/h2^2,即S1/S1'=S2/S2',从而S1/S2=S1'/S2'=k(记为一个常数)。

从而一般的底面积S=ka^2, 四棱锥的体积V=kha^2/3=2kh-2kh^3,V’=2k-6kh.

同样的,当V'=0时,解得h=根号3 /3,后面的分析同上。这就保证了答案的普遍性,而不止对底面是正方形的特例是成立的。

其实很多人数学不好,有一个非常重要的原因,就是缺乏探究数学的热情。如果您想提高自己的数学成绩,就要保持这种热情,而不是只把它当作升学的一种障碍。

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