本文为“2022年第四届数学文化征文活动，下面我们就来说一说关于数学数列的思维导图?我们一起去了解并探讨一下这个问题吧!
数学数列的思维导图
本文为“2022年第四届数学文化征文活动
一个偶然的发现——完全数及其基因构造数列
作者 : 刘建
作品编号：091
完全数又称为完美数，据说是由古希腊毕达哥拉斯学派的青年学者们发现的。这个学派的观点认为：数是万物的根源，数学的规律既是宇宙的规律。他们注意到：数6有一个特性，它等于除自身之外的因数之和，即,6=1 2 3。他们称这类数为完美数。《几何原本》最早记载了6，28，496，8128.这四个完美数，并证明了。若是素数，则是完全数。
直至西方文艺复兴时期，经过2000多年漫长的历史进程，人们又陆续发现了三个完全数，分别是33550336，8589869056，137438691328。
18世纪后期，著名数学家欧拉找出了第8个完全数，2305843008139952128，并且进一步证明了若是素数，则是所有已知完全数的统一简化式，这就使完全数与梅森素数之间建立了紧密的联系。为寻找新的大素数和完全数开辟新路。近200多年来，随着计算机技术的不断发展，人们加快了寻找完全数的步伐。至今为止，历经2500多年，人们共找到了51个梅森素数，也就是说，人们至今已发现了51个完全数。
完全数是非常奇特的数，除了等于自身之外因子之和，还都具有一些特殊的性质。
(1) 完全数都是三角形数，可以表达为连续自然数之和。
(2) 他们都是连续奇数的立方和，（6除外）也都可以表达为2的连续正整数次幂之和。
(3) 除6以外，它们的数字根——即各位上的数字反复相加，直至变成一位数，这个一位数一定是1。
(4) 除了因子1之外，每个完全数的所有因子的倒数和等于1。
(5) 完全数都是以6或8结尾的，如果以8结尾，那么就肯定是以28结尾。
(6) 他们的二进制表达式具有相似的结构形式。
110
11100
111110000
1111111000000
……
另外值得注意的一点是，所有已知的完全数都是偶完全数，是否存在奇完全数还是一个未解之谜。以上所述就是查阅有关资料所能知道的有关完全数的基本知识。
18世纪的数学家欧拉，用他关于安全数的证明告诉我们。完全数和梅森数有一种紧密的联系，找到新的梅森素数成为发现新的完全数的前提。但是找到新的大素数本身就是有待解决的一大难题。因此，在寻找新的完全数的道路上，步伐艰难而缓慢，只是在近些年，借助快速发展的计算机的威力，才有了一些进展。
2001年6月份，在整理翻阅旧刊物时，从《奥秘》98年第2期上，看到一篇关于《寻找完全数》的智力题。完全数是什么？如何寻找完全数？作为一个老三届，当年数学学习成绩尚可，回顾历年所学，竟然全无相关。虽然已是知天命之人，但对什么是完全数？如何寻找完全数却一无所知。
在刊物上找到答案后，按照完全数等于除自身之外因子之和的条件验算，结果答案给出的完全数33550326，分解因子出现小数，明显是错误的。
通过对已知4个完全数的因子分解排列组合，我很快就找出了第5个完全数是33550336，并发现其中的结构性规律，构造出一个具有许多完全数共同性质的新数列。当看到有关资料记载，人们找出第5个完全数，历时2000多年的史实，我感到了这一发现的意义和价值。经反复学习，不断探索，持续20余年，取得了一点可喜的成果。
回顾此事起初，关注完全数纯是好奇心使然。接着就像种豆得瓜，意外收获。本意是寻找完全数，但找出来的却是一个以完全数6为首项并具有一些特殊性质的新数列。
6，28，496，8128，是《几何原本》最早记载的4个完全数，也是这一数列的前4项，他们具有一些相同的特殊性质，还都具有一种相似的因子分解排列结构，既其因子分解排列构成了两个项位相等，比数为2的等比数列。（附表1）我对此名之为：对称重叠结构。
学过化学的都知道，物质的结构决定其性质，同理：数列的结构也能决定其性质。第1个完全数6及其因子分解1，2，3，6，就是一个标准的对称重叠结构，1，2和3，6就是项位相等，比数为2的两个等比数列。这种由结构决定的特殊性质，在具有相同结构的数中间，保持，传递，延伸，便形成了新的数列。
首位完全数6，及其因子1，2，3，6，等于自身之外因子之和既1 2 3=6，简洁而优美，使人联想到老子的《道德经》：道生一，一生二，二生三，三生万物。……万物等于6吗？……
再看由1，2，3，6，四个数字，两条数列组成的对称重叠结构，又能联想到四个碱基，两条螺旋曲线组成的基因遗传物质。……都会传递其内在性质，都是这样的四，二结构。……难道仅仅是巧合吗？
扯的有点远了，还是回到正题吧。
6，28，496，8128， 130816，2906128，33550336，536854528，……这些数里既有完全数也有非完全数，但因为它们具有许多共同的特殊性质，又都具有因子分解对称重叠结构，便构成了一条新数列——完全数基因构造数列。（附表2）
这个数列的最简表达式：，当n为自然数列，使该数列与自然数列一一对应，说明其具有无限性。这样，所有的已知的偶完全数都会在此找到位置，将来发现新的完全数也必然会出现在这条数列上。
完全数就像数学森林中散落的珍珠，是十分罕见的，稀少的。欧拉公式已经证明梅森素数和完全数是一一对应的。在完全数基因构造数列上，其因子分解所形成的，多是梅森数，而非梅森素数。既不是素数。其对应形成的。也肯定不是完全数。但是这些具有相同构造的非完全数，就像一根长长的线，把所有的（珍珠）完全数串联在一起，形成了一个完美的数列。
根据完全数基因构造数列。我们可以对现有的完全数相关知识内容进行补充与完善。
(1) 完全数及其基因构造数列都是以6或8结尾。如果是以8结尾，就肯定是以28结尾。如果以6结尾，则会出现16，36，56，76，96，隔位循环的现象。
(2) 除了第一个完全数6之外，这个数列上所有的数都是4的整倍数，都是除6余4。
(3) 我们把这样的数称为梅森数。若是素数，则称之为梅森素数。在此数列中，因子分解排列所形成的一系列梅森数，其数字根会出现7，4，1循环现象。若为梅森素数，则必定是6n 1型素数。
完全数基因构造数列最简表达式，与欧拉完全数公式，表面上看不一样。实质上是相容的，一致的。通过（附表1）模型，我们可以直观的看到，他们都内含对称重叠结构。不同的是，一个有前提，是梅森素数，对应的是一个完全数。一个无前提，与自然数列一一对应，形成的是一个无限数列。
对于欧拉完全数公式来说，（除了梅森素数对应完全数）若n为自然数列，总体结果表现为无序。若n为以3为首的奇数数列，令人意外惊奇，结果竟然与完全数基因构造数列完全相同。（附表3）
自然数列与奇数数列，各自分别与完全数基因构造数列一一对应。这既证明了其具有无限性，也说明了其存在的必然性与合理性。
这样由4个完全数开头，内含对称重叠结构，具有多种共同特殊性质的无限数列，是前所未闻的。通过所附的图表和模型，我们可以看到数字世界的有序与完美。这里有对称与平衡，有渐变与突变。有像细胞分裂一样的数字，还有类似基因遗传的现象。
基因遗传是生命世界的特有现象，高度抽象的数字世界也有遗传现象吗？……
在无机化学向有机化学发展的过程中，人们认识到分子的结构对化学性质的影响。“分子结构式不但表示原子的数目，而且表示各种原子在分子中的排列次序和结合关系，其组成的结构和其化学性质紧密相连”。
同样道理，这里看到的就是：各种因子在数列中的排列次序和结合关系，与其保持的完全数特殊性质紧密相连。在这里结构对性质的作用是决定性的。
他有实际用途吗？当然有，检测计算机的计算能力并多种验算，直接可用。
另外直感：编制各种密码的方法又多了。……
最后：向给予启迪，指正的张涤非，给予支持，帮助的朱昌和，纪桂林三位友人表示感谢。
已发文章>>
001 阅读《数学的故事》有感
002 我想和数学谈场恋爱
003 数学“化错”中的美
004 让数学思考成为数学课堂的主旋律
005 卢梭的“错”？
006 数学教学案例《找次品》
007 基于优化学生数学思维的高效课堂创建——以等腰三角形的判定一课为例
008 从特殊到一般，引导数学思维
009 数学文化融入家庭教育的研究
010 sin 震荡函数的图像分析
011 四阶幻方的“太极图”性质
012 无理数的定义和实数理论的建立
013 一个容易被忽视的问题——数学文化
014 “双减”背景下初中数学学科的合作学习方式探究
015 中学数学德育渗透的方法与路径
016 《数学的力量》读后感
017 基于数学文化的单元统整教学设计——以“圆的认识与面积”教学为例
018 有助于数的理解的数字圈环
019 以折叠为例，探究生长型数学教学模式
020 我从事数学科普写作的经验与启示
021 在阅读中滋长智慧——读《教育智慧从哪里来》有感
022 学习数学史 做数学的使者
023 开数学文化之窗 启数学文化魅力——阅读《美丽的数学》有感
024 “文学独白”——数学教学因你而精彩
025 如何用多面体三等分正方体
026 HPM视角下《圆的周长》教学设计
027 被误解的“勾股定理”
028 好玩的数学
029 帮小青蛙设计一个井
030 万物的基础——数学——读《从一到无穷大》有感
031 读《孙子算经》鸡兔同笼问题有感
032 HPM视角下高中数学多样化作业的设计
033 攀越高峰的领路人——数学文化
034 我的好兄弟：数学
035 细嗅数学文化之香
036 藤蔓的喜悦
037 物理力学中数学的影子
038 复数外传
039 函数的历史和发展
040 数学文化与我
041 数学之趣
042 探索数学知识背后的秘密
043 数学文化和我的数学学习
044 古代算数几何形体——阳马与鳖臑
045 数学文化与我的数学学习
046 我与数学文化
047 “形象”的数学
048 站在巨人的肩膀上学习数学
049 从数学文化和个人影响的角度剖析对数的历史
050 论数学文化
051 我与数学文化
052 正弦定理的源起与应用
053 数学文化融入初中数学教学的实践与思考
054 给数字爱好者的1个全新的0至9数字思考挑战及应用问题
055 并不需要的“承重墙”与数学课改中的问题 —— 兼与马立平博士商榷
056 奇妙的规律
057 生活中的“家常便饭”——数的表示方法
058 读《黄东坡智慧大讲堂——带你发现数学之美》有感
059 通识教育视角下初中数学思维培养从直观向抽象过渡的研究
060 读《古今数学思想》有感
061 为什么圆的面积的导数等于周长？球的的体积的导数等于其表面积？
062 《奇妙的数学文化》读后感
063 数学文化视角下《九宫图的奥秘》教学设计
064 关于毕达哥拉斯定理适用蒙特卡罗方法验证的探讨
065 遨游数学星空，体味数学奇妙
066 核心素养下的，数学文化中的美育渗透
067 探寻数学之奇，欣赏数学之美
068 框架思维——读《数学这样学就对了》有感
069 从肌肉记忆到《几何原本》第四公理
070 《数学大世界》读后感
071 除法才是四则运算的基础：兼与马立平博士商榷
072 从“海盗分金”到“囚徒困境”——博弈该如何进行？
073 “0”与“1”的辩证法和数学学习之路
074 感悟数学
075 我的好伙伴：数学
076 一则寓言故事带来的教学启发
077 神奇的数学 ——最大公因数、最小公倍数
078 怎样学好数学
079 “7”真是个神奇的数字
080 《一个定理的诞生：我与菲尔茨奖的一千个日夜》读后感
081 梦想中的职业，都与数学息息相关
082 哪⾥有数，哪⾥就有美⸺读《数学之美》有感
083 探索信息技术融入初中数学文化实践活动
084 秦九韶数学案——随机抽样统计推理的反问题
085 第四次数学危机
086 基于三阶魔方的STREAM教学设计
