1.设a,b,c为常数，且a<b<c,试求y=|x-a|
|x-b| |x-c|的最小值。
解：根据绝对值的性质，结合本题题意，首先要去绝对值。
当x>=c时，y=(x-a) (x-b) (x-c)=3x-(a b c).
当b<=x<c时，y=(x-a) (x-b)-(x-c)=x-(a b-c).
当a<=x<b时，y=(x-a)-(x-b)-(x-c)=-x-(a-b-c).
当x<a时，y=-(x-a)-(x-b)-(x-c)=-3x (a b c).
由此可得，函数y=|x-a| |x-b| |x-c|的图像如下图所示，其中A(b, c-a), B(a, -2a b c), D(c, 2c-a-b).
由于图像是折线，所以最小值必定在A,B,D这三个折点上取得。因为
c-a<-2a b c, c-a<2c-a-b,
所以最小值在A点处取得，即当x=b时，y的最小值是c-a.
2.设二次函数f(x)=ax^2 bx c,当x=3时取得最大值10,并且它的图像在x轴上截得的线段长为4,求a,b,c的值。
解：因为拋物线的对称轴是x=3,又因为图像在x轴上截得的线段长是4,所以，由对称性，图像与x轴交点的横坐标分别是1和5.因此二次函数又可以写成
f(x)=a(x-1)(x-5)的形式，从而
a(x-3)^2 10=a(x-1)(x-5).解得a=-5/2.
所以f(x)=-5/2(x-3)^2 10=(-5/2)x^2 15x-25/2.
故 a=-5/2, b=15, c=-25/2.
3.已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE,其中AF=2,BF=1.试在AB上求一点P,使矩形PNDM有最大面积。
解：设矩形PNDM的边DN=x,NP=y,于是矩形PNDM的面积
S=xy, 2<=x<=4.
可易知CN=4-x, EM=4-y,且有
(BF-EM)/CN=BF/AF,即(y-3)/(4-x)=1/2,
所以y=-1/2x 5.
S=xy=(-1/2)x^2 5x, 2<=x<=4.
二次函数S=f(x)的图像开口向下，对称轴为x=5.故当x<=5时1，函数值是随x的增加而增加。所以，对满足2<=x<=4的 S来说，当x=4时有最大值
Smax=(-1/2)×4^2 5×4=12.
,
