作者 | 刘洋洲来源 | 转自知乎专栏《万物皆数也》,“数学英才”获授权转载,在此感谢,下面我们就来说一说关于内切圆弧连接方法?我们一起去了解并探讨一下这个问题吧!
内切圆弧连接方法
作者 | 刘洋洲
来源 | 转自知乎专栏《万物皆数也》,“数学英才”获授权转载,在此感谢!
问:小圆含在大圆内,是否存在一个三角形,大圆是它的外接圆,小圆是它的内切圆?大圆和小圆需要满足哪些条件,才存在这样的三角形?或者,什么情况下这样的三角形不存在?
我们约定,将满足该条件的三角形称为「恰当三角形」。
案:我们通常情况下是已知三角形,求外接圆和内切圆,而这个问题刚好相反。如果粗暴地使用解析几何直接联立方程去求解,所涉及的未知数太多,计算量将十分恐怖,所以我们需要借助一些几何知识帮助我们去化繁为简。
解:关键方程
我首先注意到一个等式:分别利用外接圆、内切圆半径和计算恰当三角形面积。设满足条件的三角形三边记为,其周长记为,于是有
其中表示对三角形三边求和,表示外接圆圆心到边的「有向距离」。什么是有向?观察下图,我们发现当为钝角三角形时,有一条会完全在三角形区域外,此时我们规定它的符号为负,于是如上公式仍然成立。
我们对上面的公式进行变形
我们将这个方程称为「关键方程」,注意到事实上就是外接圆的弦心距,它给出了弦心距和内切圆半径之间需要满足的关系。
分析
通过分析关键方程,我们可以得到简单的结论:
❝「定理1」除非,否则必存在
.❞
「证:」是三角形三边边长,即非负。显然,是关键方程的特解,此时恰当三角形为等边三角形。因等边三角形三线合一,所以大圆和小圆是同心圆,此时退化为特殊情况。
除以上特殊情况,关键方程想要成立,其三个系数
必存在异号。
为接下来方便讨论,我们不妨设。
注意是可能的。也许读者会对前文的“有向距离”的规定有些奇怪,我们这里给出简单的几何解释:事实上是外接圆的弦长所对应的弦心距,我们可以这样定义:
其中表示弦长所对应的圆心角,且,这样一来,就可以理解为什么可以取负值了。
弦心距
所以我们接下来需要将注意力集中在上。
的计算本身是没有难度的,利用勾股定理可以直接计算出来:
但是这个结论并不能带给我们更多信息,这个时候才轮到解析几何出手了。
建系如下图:
设内切圆圆心坐标,,过内切圆上一点的切线是三角形可能的(未必能构成三角形)边长所在直线,下面我们列出方程计算一下。
第二个方程是圆上一点的切线公式。接着我们利用点到直线的距离公式
计算弦心距,恰好我们将外接圆的圆心设为原点。
于是
其中是给定向量,而是定长向量。可见是否比大取决于两个向量的夹角:
❝「定理2」当和夹角是锐角时,; 当两者夹角是钝角时,; 当两者夹角是直角时,. 即,
❞
❝「推论」当和共线时,恰当三角形为等腰三角形。
❞
「证:」如上图。若与共线,于是三点共线。由垂径定理立即可知,所在的直线垂直平分弦与切点,最后利用切线长定理等量传递,立即可知恰当三角形另外两边相等。
有趣的是,当恰当三角形是等腰的情况下,其底边达到了最值,从公式看这是显然的,
代入得,
最后我们将与的关系带入,即可得到如下估计:
❝恰当三角形什么时候存在?「定理3」
❞
通过观察上图,我们发现一旦恰当三角形存在,则在内切圆上任意一点做切线,都可以得到新的恰当三角形。我们暂时不加证明地利用这一性质,从而考虑特殊位置,最后得到恰当三角形存在充要条件。
建系如下图:
因,可得点的坐标为。容易求切点所在的弦:
于是得到弦端点的坐标为。如果另外两条分别过的切线交点,刚好落在外接圆上,则为恰当三角形,由此我们可以得到恰当三角形存在的充要条件。那么如何判定是否落在外接圆上呢?
下图是判定思路:如果点,直线是否与小圆相切,通过联立两者方程,求判别式是否等于即可。
容易求斜率为(此时),
联立方程
代入得
得到判别式
❝「定理4」恰当三角形存在的充要条件为:
❞
我们可以验证一下特殊情况。例如当小圆位于大圆中心时,此时有,代入方程:
解得,即恰当三角形为等边三角形的情形。
关于恰当三角形的内容还有很多,敬请期待下一期的内容。
- END -
数学英才
中学生英才计划
数学学科官方公众号
推送数学微慕课和学习资料