方法一，这种做法比较常规，看到分母的1 sinx时，我们应该会想到尝试使用完全平方公式，即分子分母同乘以1-sinx，这样就可以把分母变成cos^2 x，接下来的计算就比较简单了，只需要使用一些简单的积分公式就可以求解出来。
如下的方法二，具有一定的技巧性。我们可以学习一下这种技巧和方法。
第（2）题，我们看到1 cosx时，就要想到三角函数降幂公式的逆运算，即1 cosx=2cos^2 (x/2)。因为分母的角x变成半角（x/2）了，所以同样也把分子的角x变成半角(x/2)，即sinx=2sin(x/2)cos(x/2)。接下来，只需要知道tan(x/2)的导数是（1/2）sec^2(x/2)，就可以采用分部积分法去求解了。其实，对于这道题来说，还有第二种方法，即采用题（1）的方法二去求解，感兴趣的话可以自己去求解一下。
第（3）题是第十届全国大学生数学竞赛决赛里的一道填空题，这道题难度不大。观测题目，不难发现积分区间是0到正无穷大、分母为x^2 a^2，这时候我们就应该想到，如果令x=a*tant后，积分区间就可以变成0到（π/2），分母就化简成为a。
第（4）题是第五届全国大学生数学竞赛预赛的一道题，做这道题的关键是，要知道arctan(x) arctan(1/x)=(π/2)，就可以将原来比较复杂的积分进行化简了，通常在其他题目中，这条等式的作用一般也是用来化简积分。最后，在采用换元法，令x=π-t，就可以解出这道题了。
