数学一直是大多数学生头疼的问题。考前,考生都有心理,我的数学考试怎么考不好?结束了,我忘记了这个问题的解决办法,不要问这种类似的问题。

那么数学基础是什么呢?是

数是表示事物的量的基本数学概念。由于生产实践对计数和测量的需要,首先产生了自然数(正整数),后又逐渐产生了分数、零、无理数、负数、虚数等。

那么0是不是自然数呢?很遗憾,这个问题没有明确的答案,0究竟是不是自然数仍然是一个有争论的问题。

我们常说的自然数,缘起于数数,通常用作“基数”和“序数”,比如“我国有4个直辖市”的4是基数,“东京是世界第1大城市”的1是序数,那么有没有0个和第0个这样的问题,就有种公说公有理婆说婆有理的意味。

早在公元前400年,巴比伦人就将0作为了数码来使用,而公元200年左右的玛雅人也将0作为数字,然而远在南美大陆的玛雅文明没有机会与其他文明交流。我们现代对于0的观念,源于印度数学家婆罗摩笈多,他在公元628年提出了0的概念,并经由阿拉伯人传至欧洲。

但当时的欧洲并不接受这个虚无的概念。

19世纪的意大利数学家皮亚诺给出了自然数的详细定义,他提出了五条公理,史称皮亚诺公理。在皮亚诺公理中,定义1是起始的自然数,不是任何其他自然数的后继。但是,他的公理即使将1换成0,也不会对自然数的定义有其他影响,五条公理依然成立。

我们现在普遍认可的自然数数系,主要是从集合论的角度定义的。我们将0定义为空集,1是只含有0的集合,2是含有0和1的集合,3就是含有0、1、2的集合,以此类推……这样,我们就能够把一个非0的自然数看作是所有比该数小的自然数组成的集合,这个集合可以到无穷大,也反映了自然数集是一个无限数集。

国际标准《量和单位 第十一部分:物理科学和技术中使用的数学标志与符号》,选择了从集合论的角度规定:自然数集包括正整数和0。这样来看,0应该算是一个自然数。

但国外仍然有一些教材,将0划出自然数。这样做有什么好处呢?

比如,我们每个人都知道的分数1/x,其中的x属于自然数,如果0不是自然数,这个分数的分母就不会是0,那么这个分数就会一直成立,有意义。X的y次幂也是一样,在x属于自然数时,如果它不包含0,那么这个幂函数就可以一直有意义。

但是,我国在1993年强制规定我们的符号要参照国际标准,这样,在我国,0就是一个自然数。

0为什么不能作除数(分母、后项)?

1.如果除数(分母、后项)是0,被除数是非零正数时,商不存在,这是由于任何数乘0都不会得出非零正数,所以用0做除数(分母、后项)是没有意义的。但一些领域定义为无穷大(∞),因而∞×0被认为能得到非零正数。

2.如果除数(分母、后项)是0,被除数也等于0,也不行,因为任何数乘0都得0,答案有无穷多个,无法定义。(不定值,NaN)。

函数的本质是数。定义在非空数集之间的映射称为函数。

方程的本质是数。函数等于零即为方程。

不等式的本质也是数。函数不等于零即为不等式。

形是表示事物的图的基本数学概念。由于生产实践对结构和位置的需要,首先产生了点、线、角、面、体(平面/欧式几何),后又逐渐产生了双曲几何(罗氏几何)、椭圆几何(黎曼几何)等。

过直线外一点能作多少条直线和已知直线平行?

平面几何:过直线外一点能作1条直线和已知直线平行。

双曲几何:过直线外一点能作至少2条直线和已知直线平行。

椭圆几何:过直线外一点能作0条直线和已知直线平行。

初学数学的十大问题 闲谈数学的基础(1)

平行直线

三角形的内角和多少度?

平面几何:三角形的内角和等于180度。

双曲几何:三角形的内角和小于180度。

椭圆几何:三角形的内角和大于180度。

初学数学的十大问题 闲谈数学的基础(2)

三角形内角和

实际上在基础教育阶段学习到的都是欧式几何。图形都是通过组合和旋转而得到的。图形的大小是通过线段的长度来衡量,而形状则是通过角度的大小来衡量。

在一个平面内,围绕一个点并以一定长度为距离旋转一周所形成的封闭曲线叫做圆。

我们现在规定圆的角度是360度,60进制,1度=60分,1分=60秒。

时间1秒又被规定为时间的标准单位,适用于全球。

时间为什么也是60进制,和角度居然可以互相转换。且标准时间的最小单位和角度最小单位一样,都是秒。次一级的单位也是一样的,都是分。

角度是几何学的基础,角度单位和时间单位是天文学的基础,是物理学的基础,是科学的基础。

我们仔细研究一下,就知道时间和角度这两种量的关系是十分密切的。原来它们都是古代人民由于生产劳动的需要,要研究天文和历法,就牵涉到时间和角度了。例如研究昼夜的变化,就要观察地球的自转,研究四季的变化,就要观察地球的公转,这里自转和公转的角度和时间是紧密的联系在一起的。因为历法需要的精确度是较高的,时间的单位“小时”,.和角度的单位“度”都嫌太大,必须进一步研究它们的小数。时刻和角度都要求它们的小数单位具有如此的性质:使1/2、1/3、1/4、1/5、1/6等都能成为它的整数倍。以1/60作为单位,就正好具有那个性质。例如1/2等于30个1/60,1/3等于20个1/60,1/4等于15个1/60......。

数学上适应把那个1/60的单位叫做“分”,用符号“′”来表示,把1分的1/60的单位叫做“秒”,用符号“″”来表示。时刻和角度都用分、秒作小数单位。

由于地球自传和公转带来的昼夜更替和四季变化是循环往复的,所以就有了数学上周期性的来源。

有了60进制角度制为什么还要10进制的弧度制呢?首先是因为计算圆的周长和面积,球的面积和体积的需要。

1. 圆的周长:C=πd或者C=2πr(其中 d是圆的直径, r是圆的半径)。

2.圆面积公式:S=πr²或S=π×(d/2)²。(π表示圆周率(3.1415927……),r表示半径,d表示直径)。

3.球的面积:S=4πR²。(π表示圆周率(3.1415927……),r表示半径)。

4.球的体积:V=4/3πR³(π表示圆周率(3.1415927……),r表示半径)。

其中圆周率(Pi)是圆的周长与直径的比值,一般用希腊字母π表示,是一个在数学及物理学中普遍存在的数学常数。π也等于圆形之面积与半径平方之比,是精确计算圆周长、圆面积、球体积等几何形状的关键值。在分析学里,π可以严格地定义为满足sinx=0的最小正数x。

圆周率用希腊字母π(读作[paɪ])表示,是一个常数(约等于3.141592654),是代表圆周长和直径的比值。它是一个无理数,即无限不循环小数。在日常生活中,通常都用3.14代表圆周率去进行近似计算。而用九位小数3.141592654便足以应付一般计算。即使是工程师或物理学家要进行较精密的计算,充其量也只需取值至小数点后几百个位。

其次是因为角度制是60进制,而实数通常都是10进制,因此如果定义一个函数,定义域是60进制,值域是10进制,那么所绘制出的图形就会发生扭曲。而弧度制可以避免这一缺点,一方面弧度无量纲,另一方面用弧度表示角度的时候,可以做到1个实数和一个角一一对应,如此定义函数时,定义域和值域均较好地保持了10进制的方式。除此以外,在微积分的应用中,弧度制也比角度制的表示结果更加简洁,从实际应用看,弧度制的便利性也远远超过角度制。

函数与不等式和方程存在联系(初等函数)。令函数值等于零,从几何角度看,对应的自变量的值就是图像与X轴的交点的横坐标;从代数角度看,对应的自变量是方程的解。另外,把函数的表达式(无表达式的函数除外)中的“=”换成“<”或“>”,再把“Y”换成其它代数式,函数就变成了不等式,可以求自变量的范围。这就是数形结合。

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